【題目】已知拋物線y=14x2+1(如圖所示).
(1)填空:拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(___,___),對(duì)稱軸是___;
(2)已知y軸上一點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)P在拋物線上,過點(diǎn)P作PB⊥x軸,垂足為B. 若△PAB是等邊三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)M在直線AP上。在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使四邊形OAMN為菱形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。
【答案】(1)(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1),對(duì)稱軸是y軸(或x=0);(2)P1(2,4),P2(﹣2,4);(3)存在N1(,1),N2(﹣,﹣1)N3(﹣,1),N4(,﹣1)使得四邊形OAMN是菱形.
【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸即可;
(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得PB=4,將PB=4代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入解析式即可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo);
(3)首先求得直線AP的解析式,然后設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),利用勾股定理表示出有關(guān)AP的長即可得到有關(guān)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程,求得M的橫坐標(biāo)后即可求得其縱坐標(biāo),
解:(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1),對(duì)稱軸是y軸(或x=0).
(2)∵△PAB是等邊三角形,
∴∠ABO=90°﹣60°=30°.
∴AB=20A=4.
∴PB=4.
解法一:把y=4代入y=x2+1,
得 x=±2.
∴P1(2,4),P2(﹣2,4).
解法二:∴OB==2
∴P1(2,4).
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,得P2(﹣2,4).
(3)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4)
∴設(shè)線段AP所在直線的解析式為y=kx+b
∴
解得:
y=x+2
設(shè)存在點(diǎn)N使得OAMN是菱形,
∵點(diǎn)M在直線AP上,
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為:(m,m+2)
如圖,作MQ⊥y軸于點(diǎn)Q,則MQ=m,AQ=OQ﹣OA=m+2﹣2=m
∵四邊形OAMN為菱形,
∴AM=AO=2,
∴在直角三角形AMQ中,AQ2+MQ2=AM2,
即:m2+(m)2=22
解得:m=±
代入直線AP的解析式求得y=3或1,
當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的右支上時(shí),分為兩種情況:
當(dāng)N在右圖1位置時(shí),
∵OA=MN,
∴MN=2,
又∵M點(diǎn)坐標(biāo)為(,3),
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(,1),即N1坐標(biāo)為(,1).
當(dāng)N在右圖2位置時(shí),
∵MN=OA=2,M點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,1),
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,﹣1),即N2坐標(biāo)為(﹣,﹣1).
當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的左支上時(shí),分為兩種情況:
第一種是當(dāng)點(diǎn)M在線段PA上時(shí)(PA內(nèi)部)我們求出N點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,1);
第二種是當(dāng)M點(diǎn)在PA的延長線上時(shí)(在第一象限)我們求出N點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣1)
∴存在N1(,1),N2(﹣,﹣1)N3(﹣,1),N4(,﹣1)使得四邊形OAMN是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在Rt△ABC中,AB=AC=3,在△ABC內(nèi)作第一個(gè)內(nèi)接正方形DEFG;然后取GF的中點(diǎn)P,連接PD、PE,在△PDE內(nèi)作第二個(gè)內(nèi)接正方形HIKJ;再取線段KJ的中點(diǎn)Q,在△QHI內(nèi)作第三個(gè)內(nèi)接正方形…依次進(jìn)行下去,則第2014個(gè)內(nèi)接正方形的邊長為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次海上救援中,兩艘專業(yè)救助船同時(shí)收到某事故漁船的求救訊息,已知此時(shí)救助船在的正北方向,事故漁船在救助船的北偏西30°方向上,在救助船的西南方向上,且事故漁船與救助船相距120海里.
(1)求收到求救訊息時(shí)事故漁船與救助船之間的距離;
(2)若救助船A,分別以40海里/小時(shí)、30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā),勻速直線前往事故漁船處搜救,試通過計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=(x﹣3)2+m的圖象與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn),已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)A(1,0)及點(diǎn)B.
(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使S△ABP=S△ABC?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽獲獎(jiǎng)選手購買以下三種獎(jiǎng)品,其中小筆記本每本5元,大筆記本每本7元,鋼筆每支10元,購買的大筆記本的數(shù)量是鋼筆數(shù)量的2倍,共花費(fèi)346元,若使購買的獎(jiǎng)品總數(shù)最多,則這三種獎(jiǎng)品的購買數(shù)量各為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)中,把長與寬之比為(或?qū)捙c長之比為)的矩形稱為黃金矩形.
思考解決下列問題:
(1)已知圖1中黃金矩形的長,求的長;
(2)黃金矩形有個(gè)奇妙的特性:把圖1中的黃金矩形,以為邊向矩形內(nèi)作正方形,則矩形是否為黃金矩形,是,請(qǐng)予以證明;不是,請(qǐng)說明理由;
(3)黃金矩形使名畫《蒙娜麗莎》顯得特別和諧,專家分析畫中布局如圖2,其中最外面的矩形是黃金矩形,以黃金矩形的寬為邊向矩形內(nèi)部作正方形,由上小題知產(chǎn)生的小矩形為更小的黃金矩形,按此規(guī)律依次生成各黃金矩形,若圖3中最大黃金矩形的長為,則最小黃金矩形的長是多少?
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以3cm/s、2cm/s的速度從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)D移動(dòng).
(1)若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B停止,點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止移動(dòng),點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),問經(jīng)過多長時(shí)間P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm?
(2)若點(diǎn)P沿著AB→BC→CD移動(dòng),點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D停止時(shí),點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動(dòng),試探求經(jīng)過多長時(shí)間△PBQ的面積為12cm2?
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【題目】我們知道,經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線解析式可以是。
(1)對(duì)于這樣的拋物線:
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)時(shí),a= ;
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,m),m≠0時(shí),a 與m之間的關(guān)系式是 ;
(2)繼續(xù)探究,如果b≠0,且過原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)在直線上,請(qǐng)用含k的代數(shù)式表示b;
(3)現(xiàn)有一組過原點(diǎn)的拋物線,頂點(diǎn)A1,A2,…,An在直線上,橫坐標(biāo)依次為1,2,…,n(n為正整數(shù),且n≤12),分別過每個(gè)頂點(diǎn)作x軸的垂線,垂足記為B1,B2,B3,…,Bn,以線段AnBn為邊向右作正方形AnBnCnDn,若這組拋物線中有一條經(jīng)過點(diǎn)Dn,求所有滿足條件的正方形邊長。
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,2),B(p,q)在直線上,拋物線m經(jīng)過點(diǎn)B、C(p+4,q),且它的頂點(diǎn)N在直線l上.
(1)若B(-2,1),
①請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出直線l與拋物線m的示意圖;
②設(shè)拋物線m上的點(diǎn)Q的模坐標(biāo)為e(-2≤e≤0)過點(diǎn)Q作x軸的垂線,與直線l交于點(diǎn)H.若QH=d,當(dāng)d隨e的增大面增大時(shí),求e的取值范圍;
(2)拋物線m與y軸交于點(diǎn)F,當(dāng)拋物線m與x軸有唯一交點(diǎn)時(shí),判斷△NOF的形狀并說明理由.
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