Question

如圖，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2

3

cm．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）求⊙O的半徑；
（3）求圖中陰影的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）直接根據(jù)圓周角定理得到∠BAC=∠BDC=60°；
（2）連結(jié)OB、OC，作OH⊥BC于H，如圖，由于∠ACB=∠BAC=60°，則可判斷△ABC為等邊三角形，利用圓周角定理得∠BOC=2∠BAC=120°，所以BC=AC=2

3

，由于OB=OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得∠OBC=30°，BH=

1

2

BC=

3

，然后在△OBH中利用含30度的直角三角形的三邊的關(guān)系可計(jì)算出OH=

3

3

BH=1，OB=2OH=2；
（3）根據(jù)扇形面積公式和利用S_{陰影的面積}=S_扇形BOC-S_△BOC進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵∠BDC=60°，
∴∠BAC=60°；
（2）連結(jié)OB、OC，作OH⊥BC于H，如圖，
∵∠ACB=60°，∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，∠BOC=2∠BAC=120°，
∴BC=AC=2

3

，
∵OB=OC，
∴∠OBC=30°，BH=

1

2

BC=

3

，
在△OBH中，∵∠OBH=30°，
∴OH=

3

3

BH=

3

3

×

3

=1，
OB=2OH=2，
即⊙O的半徑為2；
（3）S_{陰影的面積}=S_扇形BOC-S_△BOC
=

120•π•22

360

-

1

2

•2

3

•1
=（

4

3

π-

3

）cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形面積計(jì)算：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S_扇形=

360

n

πR²或S_扇形=

1

2

lR（其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng)）．求陰影面積常用的方法：直接用公式法；和差法；割補(bǔ)法．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．