Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+42交x軸于點A，交直線y=x交于點B．拋物線y=ax²-2x+c分別交線段AB、OB于點C、D，點C和點D的橫坐標分別為16和4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點Q為線段OB上一點，點P為拋物線上一點，且P、Q兩點的縱坐標都為5，求線段PQ的長；
（3）若點Q為線段OB或線段BC上一點，點P為拋物線上一點，PQ⊥x軸．設(shè)P、Q兩點之間的距離為d，點Q的橫坐標為m，求m為何值時，d取得最大值，最大值是多少．并直接寫出d隨m的增大而減小時m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）易求得點C，D坐標，將C，D代入y=ax²-2x+c即可求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)縱坐標為5可以求得點P，Q的橫坐標，即可求得PQ的長，即可解題；
（3）由題意知P、Q兩點橫坐標相同，分類討論求得PQ的長，即可解題．

解答：解：（1）∵點C橫坐標為16，且點C在直線y=-2x+42上，
∴點C坐標為（16，10），
∵點D橫坐標為4，且點C在直線y=x上，
∴點D坐標為（4，4），
將C，D兩點代入y=ax²-2x+c得：

16a-8+c=4 256a-32+c=10

，
解得：a=

1

8

，c=10，
∴拋物線的解析式為y=

1

8

x²-2x+10；
（2）拋物線上點P縱坐標為5，
則有5=

1

8

x²-2x+10，
解得：x=8±2

6

，
∴點P坐標（8+2

6

，5），（8-2

6

，5）
∵點Q為線段OB上一點，直線OB解析式為y=x，縱坐標為5，
∴點Q坐標為（5，5），
∴PQ長度為（8+2

6

-5）或（5-8+2

6

），即3+2

6

或2

6

-3；
（3）∵PQ⊥x軸，
∴P、Q兩點橫坐標相同，
∵直線y=-2x+42交直線y=x交于點B，
∴點B坐標為（14，14），
①當0≤m＜4時，d=

1

8

m²-2m+10-m=

1

8

m²-3m+10，此時d有最大值m=0時，d=10，且此時d隨m的增大而減小；
②當4≤m＜14時，d=m-

1

8

m²+2m-10=-

1

8

m²+3m-10，此時d有最大值m=12時，d=8，∴m＜12時，d隨m的增大而增大，m≥12時，d隨m的增大而減��；
③當14≤m＜16時，d=-2m+42-（

1

8

m²-2m+10）=-

1

8

m²+32，此時d有最大值m=14時，d=7.5，且此時d隨m的增大而減小；
綜上所述，m=0時，d有最大值10，且d隨m的增大而減小時m的取值范圍為[0，4]，[12，16]．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．