Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，直線y=-x+5與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B，且頂點(diǎn)為C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求sin∠OCA的值；
（3）若P是這個(gè)二次函數(shù)圖象上位于x軸下方的一點(diǎn)，且△ABP的面積為10，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線方程求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，通過方程組來求系數(shù)b、c的值；
（2）如圖，過點(diǎn)C作CH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H，構(gòu)建等腰△AOC．則∠OAC=∠OCA，故sin∠OCA=sin∠OAC=

CH

AC

=

4

2 5

=

2 5

5

；
（3）如圖，過P點(diǎn)作PQ⊥x軸并延長(zhǎng)交直線y=-x+5于Q．設(shè)點(diǎn)P（m，m²-6m+5），Q（m，-m+5），則PQ=-m+5-（m²-6m+5）=-m²+5m．由S_△ABP=S_△PQB+S_△PQA得到：10=

1

2

(-m2+5m)×5，則易求m的值．注意點(diǎn)P位于第四象限．

解答：解：（1）由直線y=-x+5得點(diǎn)B（0，5），A（5，0），
將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c，得
 

c=5 25+5b+c=0

，
解得

b=-6 c=5

，
∴拋物線的解析式為y=x²-6x+5；

（2）如圖，過點(diǎn)C作CH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H．
由（1）知，拋物線的解析式為：y=x²-6x+5，則配方 得y=（x-3）²-4，
∴點(diǎn)C（3，-4），
∴CH=4，AH=2，AC=2

5

，
∴OC=5．
∵OA=5，
∴OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴sin∠OCA=sin∠OAC=

CH

AC

=

4

2 5

=

2 5

5

；

（3）如圖，過P點(diǎn)作PQ⊥x軸并延長(zhǎng)交直線y=-x+5于Q．
設(shè)點(diǎn)P（m，m²-6m+5），Q（m，-m+5），則PQ=-m+5-（m²-6m+5）=-m²+5m．
∵S_△ABP=S_△PQB+S_△PQA=

1

2

PQ•OA，
∴10=

1

2

(-m2+5m)×5，
∴m₁=1，m₂=4，
∴P（1，0）（舍去），P（4，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線方程的三種形式，以及三角形面積的求法．解答（3）題時(shí)，要注意點(diǎn)P的位置．需要舍去位于x軸上的P（1，0）．