Question

【題目】已知線段，過點(diǎn)的射線．在射線上截取線段，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)．以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的對應(yīng)點(diǎn)為的對應(yīng)點(diǎn)為．

(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且點(diǎn)不是中點(diǎn)時(shí)，

①據(jù)題意在圖中補(bǔ)全圖形；

②證明：以為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．

(2)連接，若，從下列3個(gè)條件中選擇1個(gè)：

①，②，③，

當(dāng)條件______(填入序號)滿足時(shí)，一定有，并證明這個(gè)結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）①圖見解析②證明見解析（2）③；證明見解析

【解析】

（1）①按照題中敘述畫出圖形即可；②如圖，連接AE，AM．由題意可知△ABC是等腰直角三角形，由旋轉(zhuǎn)可知△DPE≌△BPN，通過一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形及有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形進(jìn)行判斷即可；

（2）當(dāng)條件③BN＝滿足時(shí)，一定有EM＝EA．先證明四邊形FMDE是矩形再證明FE垂直平分AM，從而可得答案．

（1）①補(bǔ)全圖形如下：

②證明：如圖，連接AE，AM．

由題意可知：D在BC上，△ABC是等腰直角三角形，則AM⊥BC，AM＝BC，

∵旋轉(zhuǎn)，

∴△DPE≌△BPN，

∴DE＝BN＝BC，∠EDP＝∠PBD．

∴∠EDB＝∠EDP＋∠PDB＝∠PBD＋∠PDB＝90°，

∴ED⊥BC，

∴ED∥AM，且ED＝AM，

∴四邊形AMDE為平行四邊形．

又∵AM⊥BC，

∴∠AMD＝90°，

∴四邊形AMDE是矩形．

（2）答：當(dāng)條件③BN＝滿足時(shí)，一定有EM＝EA．

證明：與（1）②同理，此時(shí)仍有△DPE≌△BPN，

∴DE＝BN＝，DE⊥BC，

取AM的中點(diǎn)F，連接FE，如圖所示：

∵AB＝4，則AM＝4×sin45°＝2，

∴FM＝．

∴ED∥FM，且ED＝FM，

∴四邊形FMDE是平行四邊形，

又FM⊥BC，

∴∠FMD＝90°，

∴四邊形FMDE是矩形．

∴FE⊥AM，且FA＝FM＝，

∴EA＝EM．

故答案為：③．