Question

已知等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，P為⊙O上異于A、B、C的動點．當(dāng)點P為弦BC所對的劣弧上一點時（如圖），連接PA、PB、PC，

（1）求證：PB+PC=PA；
（2）當(dāng)點P為弦BC所對的優(yōu)弧上一點時，連接PA、PB、PC，猜想PA、PB和PC的數(shù)量關(guān)系為：

 

，不必證明；
（3）⊙O半徑為4，當(dāng)PB=2時，求PA的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）在PA上截取PD=PC，可證明△ACD≌△BCP，則AD=PB，從而得出PA=PB+PC；
（2）當(dāng)點P為弦BC所對的優(yōu)弧上一點時，相當(dāng)于P點在弦AB所對的劣弧

AB

上，所以有PC=PA+PB，或相當(dāng)于P點在弦AC所對的

AC

上，所以有PB=PA+PC．
（3）根據(jù)⊙O的半徑求出圓內(nèi)接等邊三角形的邊長，然后根據(jù)余弦定理求得PA的長．

解答：（1）證明：連結(jié)CD．在PA上截取PD=PC
∵AB=AC=BC，
∴∠APB=∠APC=60°，
∴△PCD為等邊三角形，
∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCB=∠ACB-∠DCB，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，

AC=BC ∠ACD=∠BCP CP=CD

∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD=PB，
∵PA=AD+DP，DP=PC，
∴PA=PB+PC


（2）解：PC=PA+PB或PB=PA+PC．

（3）解：如上圖
∵△ABC都為等邊三角形，⊙O半徑為4，
∴AB=BC=AC=4

3

，
∵∠APB=∠ACB=60°，PB=2
根據(jù)余弦定理可知：PA²+PB²-AB²=2PA×PB•COS∠APB，
整理得PA²-2PA-44=0，
解得PA=1+3

5

或PA=1-3

5

（舍去）
∴PA=1+3

5

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角的定理、等邊三角形的性質(zhì)以及余弦定理是一個綜合題，有一定難度．