Question

如圖，在∠MON的兩邊依次截取OA=AB=BC=CD=2．
（1）若DC⊥OM，求∠MON；
（2）以AB長(zhǎng)為半徑作⊙B，若AC=2

3

，求證：CD是⊙B的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，設(shè)出∠MON=α，然后找到各角之間的關(guān)系，求出∠MON的度數(shù)．
（2）要證CD是⊙B的切線，就要證∠BCD=90°，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠2=30°，再求出∠4和∠5都等于45°，從而證得∠BCD=90°．

解答：解：如圖，設(shè)∠MON=α
∵OA=AB
∴∠1=∠MON=α
∴∠2=∠MON+∠1=2α
又∵AB=BC
∴∠3=∠2=2α
∴∠4=∠MON+∠3=3α                                                                                 
又∵BC=CD
∴∠4=∠5=3α
∴∠MCD=∠MON+∠5=4α
又∵DC⊥OM
∴∠MCD=90°
∴4α=90°
α=22.5°
即∠MON=22.5°


（2）如圖過點(diǎn)B作BE⊥AC
∵AB=BC，BE⊥AC，AC=2

3

∴AE=CE=

1

2

AC=

3

又∵AB=2
∴cos∠2=

AE

AB

=

3

2

∴∠2=30°
又∵∠2=2∠MON
∴∠MON=15°
又∵∠4=∠5=3∠MON
∴∠4=∠5=45°
∴∠BCD=90°
∴CD是⊙B的切線．

點(diǎn)評(píng)：這道題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和切線的判定定理，并會(huì)熟練的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要性．