Question

如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE=1，ED=2．
（1）求證：∠ABC=∠D；
（2）求AB的長(zhǎng)；
（3）延長(zhǎng)DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由AB=AC，利用等邊對(duì)等角得到∠ABC=∠C，再由同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠C=∠D，等量代換即可得證；
（2）由（1）的結(jié)論與公共角相等，得到△ABE與△ADB相似，由相似得比例，即可求出AB的長(zhǎng)；
（3）直線FA與⊙O相切，理由為：連接OA，由BD為直徑，得到∠BAD為直角，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，得到AB=OB=OA，根據(jù)BF=BO，得到AB等于FO的一半，確定出∠OAF為直角，即可得證．

解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C與∠D所對(duì)應(yīng)的弧均為

AB

，
∴∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D；

（2）解：∵∠ABC=∠D，∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
即AB²=AE•（AE+ED）=3，
解得：AB=

3

；

（3）答：直線FA與⊙O相切．理由如下：
連接OA，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，AB=

3

，AD=1+2=3，
根據(jù)勾股定理得：BD=2

3

，
∴OB=OA=AB=

3

，
∵BF=OB，
∴AB=FB=OB，即AB=

1

2

OF，
∴∠OAF=90°，
則直線AF與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，圓周角定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．