【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于點(diǎn)與軸交于、兩點(diǎn)
(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),拋物線的頂點(diǎn)為.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)用配方法求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).
①過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn),若,求點(diǎn)的坐標(biāo);
②在①的條件下,點(diǎn)是坐標(biāo)軸上的點(diǎn),且點(diǎn)到和的距離相等,請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng);
③若點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn),且始終滿足,連接,,請(qǐng)直接寫出的最小值.
【答案】(1);(2);(3)①;②或;③+.
【解析】
(1)將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線,即可得出其表達(dá)式;
(2)將拋物線解析式配方法,即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)①令y=0,即可得出點(diǎn)C坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)E在拋物線上設(shè)其坐標(biāo),利用PE=PC,列出等式,求解即可;
②首先設(shè)直線DE與x軸交于M,與y軸交于N,直線EA與x軸交于K,利用斜率判定點(diǎn)到和的距離相等,在頂角的角平分線上,進(jìn)而即可得出EF是點(diǎn)E到坐標(biāo)軸的距離;
③首先作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′,當(dāng)A與Q重合,D′、A、P在一條直線上時(shí),取得最小值,即為D′P,然后求解即可.
(1)將點(diǎn)代入拋物線,得
將點(diǎn)代入拋物線,得
∴拋物線的解析式為:;
(2)由(1)得,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為;
(3)①∵與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),
∴
∴或
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為
∵點(diǎn)E在拋物線上,設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為,則點(diǎn)P坐標(biāo)為
∴
∵
∴
∴或或
∵點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),
∴
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為;
②設(shè)直線DE與x軸交于M,與y軸交于N,直線EA與x軸交于K,如圖所示:
根據(jù)E、D的坐標(biāo)求得直線ED的斜率為:
根據(jù)E、A的坐標(biāo)求得直線EA的斜率為:
∴△MEK是以MK為底邊的等腰三角形,△AEN是以AN為底邊的等腰三角形,
∵點(diǎn)到和的距離相等,在頂角的角平分線上
∴EF是點(diǎn)E到坐標(biāo)軸的距離
∴EF的長(zhǎng)為或;
③作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′,當(dāng)A與Q重合,D′、A、P在一條直線上時(shí),取得最小值,即為D′P,如圖所示:
∵,
∴OA=OP=2
∴AP=
∵D
∴DA=
由對(duì)稱性,得D′A=DA=
∴D′P=D′A+AP=+
即的最小值為+.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖示,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)()交軸于,,在軸上有一點(diǎn),連接.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)是第二象限內(nèi)的點(diǎn)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)
①求面積最大值并寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);
②若,求此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo);
(3)連接,點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).連接,把線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)等于______(直接寫出答案)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在北京舉行,北京將成為歷史上第一座既舉辦過夏奧會(huì)又舉辦過冬奧會(huì)的城市.某區(qū)舉辦了一次冬奧知識(shí)網(wǎng)上答題競(jìng)賽,甲、乙兩校各有名學(xué)生參加活動(dòng),為了解這兩所學(xué)校的成績(jī)情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查,過程如下,請(qǐng)補(bǔ)充完整.
[收集數(shù)據(jù)]
從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取名學(xué)生,在這次競(jìng)賽中他們的成績(jī)?nèi)缦?
甲:
乙:
[整理、描述數(shù)據(jù)]按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):
學(xué)校 人數(shù) 成績(jī) | |||
甲 | |||
乙 |
(說(shuō)明:優(yōu)秀成績(jī)?yōu)?/span>,良好成績(jī)?yōu)?/span>合格成績(jī)?yōu)?/span>.)
[分析數(shù)據(jù)]兩組樣本數(shù)據(jù)的平均分、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示:
學(xué)校 | 平均分 | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲 | |||
乙 |
其中 .
[得出結(jié)論]
(1)小明同學(xué)說(shuō):“這次競(jìng)賽我得了分,在我們學(xué)校排名屬中游略偏上!”由表中數(shù)據(jù)可知小明是 _校的學(xué)生;(填“甲”或“乙”)
(2)張老師從乙校隨機(jī)抽取--名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī),試估計(jì)這名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率為_ ;
(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)推斷一所你認(rèn)為競(jìng)賽成績(jī)較好的學(xué)校,并說(shuō)明理由: ;
(至少?gòu)膬蓚(gè)不同的角度說(shuō)明推斷的合理性)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某小區(qū)為改善生態(tài)環(huán)境,實(shí)行生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分成三類:廚房垃圾、可回收垃圾和其他垃圾,分別記為,并且設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱“廚房垃圾”箱,“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱,分別記為.
(1)為了了解居民生活垃圾分類投放的情況,現(xiàn)隨機(jī)抽取了小區(qū)三類垃圾箱中總共噸生活垃圾,數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖(單位:噸):
請(qǐng)根據(jù)以上信息,估計(jì)“廚房垃圾”投放正確的概率;
(2)若將三類垃圾隨機(jī)投入三類垃圾箱,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表格的方法求出垃圾投放正確的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,直線y=kx+1與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,將△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使AO落在AB上,得到△ACD,將△ACD沿射線BA平移,當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)x軸時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)平移距離為m,平移后的圖形在x軸下方部分的面積為S,S關(guān)于m的函數(shù)圖象如圖2所示(其中0<m≤2,2<m≤a時(shí),函數(shù)的解析式不同)
(1)填空:a= ,k= ;
(2)求S關(guān)于m的解析式,并寫出m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,內(nèi)接于且.延長(zhǎng)至點(diǎn),使.連接交于點(diǎn).連接.
(1)求證:;
(2)填空:①當(dāng)的度數(shù)為_____時(shí),四邊形是菱形:②若的長(zhǎng)為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖是y=ax2+2x﹣1的圖象,那么ax2+2x﹣1=0的根可能是下列哪幅圖中拋物線與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)( 。
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知中,,,點(diǎn),分別在邊,上(不與端點(diǎn)重合),,射線交延長(zhǎng)線于點(diǎn),點(diǎn)在直線上,.
(1)(觀察猜想)如圖1,點(diǎn)在射線上,當(dāng)時(shí),
①線段與的數(shù)量關(guān)系是______;
②的度數(shù)是______;
(2)(探究證明)如圖2點(diǎn)在射線上,當(dāng)時(shí),判斷并證明線段與的數(shù)量關(guān)系,求的度數(shù);
(3)(拓展延伸)如圖3,點(diǎn)在直線上,當(dāng)時(shí),,點(diǎn)是邊上的三等分點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn),請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年2月18日,《感動(dòng)中國(guó)2018年度人物頒獎(jiǎng)盛典》在央視綜合頻道播出,其中鄉(xiāng)村教師張玉滾的事跡令人非常感動(dòng)某校團(tuán)委組織“支援鄉(xiāng)村教育,幫助教師張玉滾”的捐款活動(dòng),以下為九年級(jí)(1)班捐款情況:
捐款金額(元) | 5 | 10 | 20 | 50 |
人數(shù)(人) | 12 | 13 | 16 | 11 |
則這個(gè)班學(xué)生捐款金額的中位數(shù)和眾數(shù)分別為( )
A.15,50B.20,20C.10,20D.20,50
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