Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)與軸交于、兩點(diǎn)

（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），拋物線的頂點(diǎn)為．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）用配方法求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．

①過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②在①的條件下，點(diǎn)是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且點(diǎn)到和的距離相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)；

③若點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足，連接，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①；②或；③+.

【解析】

（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線，即可得出其表達(dá)式；

（2）將拋物線解析式配方法，即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）①令y=0，即可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)E在拋物線上設(shè)其坐標(biāo)，利用PE=PC，列出等式，求解即可；

②首先設(shè)直線DE與x軸交于M，與y軸交于N，直線EA與x軸交于K，利用斜率判定點(diǎn)到和的距離相等，在頂角的角平分線上，進(jìn)而即可得出EF是點(diǎn)E到坐標(biāo)軸的距離；

③首先作D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，當(dāng)A與Q重合，D′、A、P在一條直線上時(shí)，取得最小值，即為D′P，然后求解即可.

（1）將點(diǎn)代入拋物線，得

將點(diǎn)代入拋物線，得

∴拋物線的解析式為：；

（2）由（1）得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）①∵與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），

∴

∴或

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為

∵點(diǎn)E在拋物線上，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為，則點(diǎn)P坐標(biāo)為

∴

∵

∴

∴或或

∵點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，

∴

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；

②設(shè)直線DE與x軸交于M，與y軸交于N，直線EA與x軸交于K，如圖所示：

根據(jù)E、D的坐標(biāo)求得直線ED的斜率為：

根據(jù)E、A的坐標(biāo)求得直線EA的斜率為：

∴△MEK是以MK為底邊的等腰三角形，△AEN是以AN為底邊的等腰三角形，

∵點(diǎn)到和的距離相等，在頂角的角平分線上

∴EF是點(diǎn)E到坐標(biāo)軸的距離

∴EF的長(zhǎng)為或；

③作D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，當(dāng)A與Q重合，D′、A、P在一條直線上時(shí)，取得最小值，即為D′P，如圖所示：

∵，

∴OA=OP=2

∴AP=

∵D

∴DA=

由對(duì)稱(chēng)性，得D′A=DA=

∴D′P=D′A+AP=+

即的最小值為+.