Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB=90°，BC=a，AB=c（c＞

2

a），連結(jié)OC，若B關(guān)于OC的對稱點為B′，連結(jié)AB′，則AB′=

 

（用含a，c的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,三角形中位線定理

專題：計算題

分析：根據(jù)圓周角定理，由∠ACB=90°得到AB為⊙O的直徑，再利用圓對稱的性質(zhì)點B′在⊙O上，且OC⊥BB′，根據(jù)垂徑定理得

BC

=

B′C

，于是利用圓周角定理得到∠BAC=∠CBB′，則可判斷Rt△ABC∽△BCD，利用相似比可表示出CD=

a2

c

，所以O(shè)D=OC-CD=

c

2

-

a2

c

=

c2-2a2

2c

，然后證明OD為△ABB′的中位線，利用三角形中位線性質(zhì)計算AB′．

解答：解：∵△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB=90°，
∴AB為⊙O的直徑，
∵B關(guān)于OC的對稱點為B′，
∴點B′在⊙O上，OC⊥BB′，
∴

BC

=

B′C

，
∴∠BAC=∠CBB′，
∴Rt△ABC∽△BCD，
∴

BC

CD

=

AB

BC

，即

a

CD

=

c

a

，
∴CD=

a2

c

，
∴OD=OC-CD=

c

2

-

a2

c

=

c2-2a2

2c

，
∵AB為直徑，
∴∠AB′B=90°，
∴OD∥AB′，
而OA=OB，
∴OD為△ABB′的中位線，
∴AB′=2OD=

c2-2a2

c

．
故答案為

c2-2a2

c

．

點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理和三角形中位線性質(zhì)．