【題目】已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,3),頂點(diǎn)為B,對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)如圖1,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,過(guò)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D,E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與A,C兩點(diǎn)重合);
(i)若直線BE將四邊形ACOD分成面積比為1:3的兩部分,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(ii)如圖2,連接DE,作矩形DEFG,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在點(diǎn)G落在y軸上的同時(shí)點(diǎn)F恰好落在拋物線上?若存在,求出此時(shí)AE的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+3,頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4);(2)(i)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,3)或(,3);(ii)存在;當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上的同時(shí)點(diǎn)F恰好落在拋物線上,此時(shí)AE的長(zhǎng)為.
【解析】
(1)由題意得出,解得,得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣x2+x+3=﹣(x﹣2)2+4,即可得出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4);
(2)(i)求出C(0,3),設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,3),求出直線BE的函數(shù)表達(dá)式為:y=x+,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4m﹣6,0),由題意得出OC=3,AC=4,OM=4m﹣6,CE=m,則S矩形ACOD=12,S梯形ECOM=,分兩種情況求出m的值即可;
(ii)過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于N,則NF∥CG,設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為:(a,﹣a2+a+3),則NF=3﹣(﹣a2+a+3)=a2﹣a,NC=﹣a,證△EFN≌△DGO(ASA),得出NE=OD=AC=4,則AE=NC=﹣a,證△ENF∽△DAE,得出,求出a=﹣或0,當(dāng)a=0時(shí),點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,舍去,得出AE=NC=﹣a=,即可得出結(jié)論.
(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,3),對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2,
∴
解得
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣x2+x+3,
∵y=﹣x2+x+3=﹣(x﹣2)2+4,
∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4);
(2)(i)∵y=﹣x2+x+3,
∴x=0時(shí),y=3,
則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3),
∵A(4,3),
∴AC∥OD,
∵AD⊥x,
∴四邊形ACOD是矩形,
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,3),直線BE的函數(shù)表達(dá)式為:y=kx+n,直線BE交x軸于點(diǎn)M,如圖1所示:
則
解得: ,
∴直線BE的函數(shù)表達(dá)式為:y=x+,
令:y=x+=0,則x=4m﹣6,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4m﹣6,0),
∵直線BE將四邊形ACOD分成面積比為1:3的兩部分,
∴點(diǎn)M在線段OD上,點(diǎn)M不與點(diǎn)O重合,
∵C(0,3),A(4,3),M(4m﹣6,0),E(m,3),
∴OC=3,AC=4,OM=4m﹣6,CE=m,
∴S矩形ACOD=OCAC=3×4=12,
S梯形ECOM=(OM+EC)OC=(4m﹣6+m)×3=,
分兩種情況:
①=,即=,
解得:m=,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(,3);
②=,即=,
解得:m=,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(,3);
綜上所述,點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(,3)或(,3);
(ii)存在點(diǎn)G落在y軸上的同時(shí)點(diǎn)F恰好落在拋物線上;理由如下:
由題意得:滿(mǎn)足條件的矩形DEFG在直線AC的下方,
過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于N,則NF∥CG,如圖2所示:
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為:(a,﹣a2+a+3),
則NF=3﹣(﹣a2+a+3)=a2﹣a,NC=﹣a,
∵四邊形DEFG與四邊形ACOD都是矩形,
∴∠DAE=∠DEF=∠N=90°,EF=DG,EF∥DG,AC∥OD,
∴∠NEF=∠ODG,∠EMC=∠DGO,
∵NF∥CG,
∴∠EMC=∠EFN,
∴∠EFN=∠DGO,
在△EFN和△DGO中,∠NEF=∠ODG,EF=DG,∠EFN=∠DGO,
∴△EFN≌△DGO(ASA),
∴NE=/span>OD=AC=4,
∴AC﹣CE=NE﹣CE,即AE=NC=﹣a,
∵∠DAE=∠DEF=∠N=90°,
∴∠NEF+∠EFN=90°,∠NEF+∠DEA=90°,
∴∠EFN=∠DEA,
∴△ENF∽△DAE,
∴,即=
整理得:a2+a=0,
解得:a=﹣或0,
當(dāng)a=0時(shí),點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,
∴a=0舍去,
∴AE=NC=﹣a=,
∴當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上的同時(shí)點(diǎn)F恰好落在拋物線上,此時(shí)AE的長(zhǎng)為.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且A(一1,0).
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論;
(3)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△DCM的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(﹣1,3),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B(﹣4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點(diǎn),下列結(jié)論:①2a﹣b=0;②abc<0;③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0);④方程ax2+bx+c﹣3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;⑤當(dāng)﹣4<x<﹣1時(shí),則y2<y1.
其中正確的是( 。
A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③④
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),D是的中點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作半圓O的切線,交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:∠FCD=∠ADE;
(2)填空:
①當(dāng)∠FCD的度數(shù)為 時(shí),四邊形OADC是菱形;
②若AB=2,當(dāng)CF∥AB時(shí),DF的長(zhǎng)為 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是_____.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,D是BC邊上一點(diǎn),且CD=3BD,連接AD,把△ACD沿AD翻折,得到△ADC',DC′與AB交于點(diǎn)E,連接BC′,則△BDC'的面積為( )
A.B.C.D.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】5G網(wǎng)絡(luò),是最新一代蜂窩移動(dòng)通信技術(shù),其數(shù)據(jù)傳輸速率遠(yuǎn)高于以前的蜂窩網(wǎng)絡(luò),最高可達(dá)10Gbit/s,比4G快100倍.5G手機(jī)也成為生活、工作不可缺少的移動(dòng)設(shè)備,某電商公司銷(xiāo)售兩種5G手機(jī),已知售出5部A型手機(jī),3部B型手機(jī)的銷(xiāo)售額為51000元;售出3部A型手機(jī),2部B型手機(jī)的銷(xiāo)售額為31500元.
(1)求A型手機(jī)和B型手機(jī)的售價(jià)分別是多少元;
(2)該電商公司在3月實(shí)行“滿(mǎn)減促銷(xiāo)”活動(dòng),活動(dòng)方案為:?jiǎn)尾渴謾C(jī)滿(mǎn)3000元減500元,滿(mǎn)5000元減1500元(每部手機(jī)只能參加最高滿(mǎn)減活動(dòng)),結(jié)果3月A型手機(jī)的銷(xiāo)量是B型手機(jī)的,4月該電商公司加大促銷(xiāo)活動(dòng)力度,每部A型手機(jī)按照3月滿(mǎn)減后的售價(jià)再降a%,銷(xiāo)量比3月增加2a%;每部B型手機(jī)按照滿(mǎn)減后的售價(jià)再降a%,銷(xiāo)量比3月銷(xiāo)量增加a%,結(jié)果4月的銷(xiāo)售總額比3月的銷(xiāo)售總額多a%,求a的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為滿(mǎn)足市場(chǎng)需求,某超市在中秋節(jié)來(lái)臨前夕,購(gòu)進(jìn)一種品牌月餅,每盒進(jìn)價(jià)是40元,超市規(guī)定每盒售價(jià)不得少于45元,根據(jù)以往銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):當(dāng)售價(jià)定為每盒45元時(shí),每天可以賣(mài)出700盒,每盒售價(jià)每提高1元,每天要少賣(mài)出20盒.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)(元)與每盒漲價(jià)(元)之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍;
(2)當(dāng)每盒漲價(jià)為多少元時(shí),每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
(3)如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤(rùn),求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=3.點(diǎn)E在線段BA上從B點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度出發(fā)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),F(xiàn)是射線CD上一動(dòng)點(diǎn),在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中始終保持EF=5,且CF>BE,點(diǎn)P是EF的中點(diǎn),連接AP.設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.
(1)在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,AP的長(zhǎng)度存在一個(gè)最小值,當(dāng)AP的長(zhǎng)度取得最小值時(shí),點(diǎn)P的位置應(yīng)該在 .
(2)當(dāng)AP⊥EF時(shí),求出此時(shí)t的值
(3)以P為圓心作⊙P,當(dāng)⊙P與矩形ABCD三邊所在直線都相切時(shí),求出此時(shí)t的值,并指出此時(shí)⊙P的半徑長(zhǎng).
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com