Question

（本題滿分7分）已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上，∠B=∠CAD=30°．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若OD⊥AB，BC=4，求AD的長(zhǎng)．

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接OA，∠OAC=2∠BAC=60°，又∠CAD=30°，即AD⊥OA，AD為切線；

（2）連接OB，由垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)即可證明BC=AC=OA=5，在直角△OAD中，易得AD=．

試題解析：連結(jié)OA，

（1）∵∠AOC=2∠B，∠B=30°，∴∠AOC=60°，

∵ OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=60°，

∵∠ACD=30°，∴∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切線；

（2）∵OA⊥AD，∴弧BC=弧AC，∴BC=AC=4，

∵△OAC是等邊三角形，∴OA=AC=4，

在Rt△OAD中，∠D=30°，OA=4，∴AD=．

考點(diǎn)：1．切線的判定；2．等邊三角形的判定與性質(zhì)．