Question

（9分）小學我們就學過，四個內(nèi)角都是直角的四邊形叫做長方形，長方形的對邊相等且平行．如圖①，長方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E為CD的中點．點P從A點出發(fā)，沿A-B-C的方向在長方形邊上勻速運動，速度為1cm/s，運動到C點停止．設(shè)點P運動的時間為ts．（圖②③為備用圖）

（1）當P在AB上運動，t=_______s時，△APE的面積為長方形面積的.

（2）在整個運動過程中，t為何值時，△APE為直角三角形？

（3）在整個運動過程中，t為何值時，△APE為等腰三角形？

 

Answer 1

（1）4；（2）t=3或；（3）t=5或6或．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)t秒后，△APE的面積為長方形面積的，根據(jù)題意得：△APE的面積=AP•AD=，從而求得t值；

（2）當P運動到AB中點時AEP為直角三角形，此時角APE為直角，t=3；還有一種情況，當P運動到BC上時，角AEP為直角時利用相似三角形求得AP的長即可求得t值；

（3））第一種情況，當P在AE垂直平分線上時，AP=EP；第二種情況，P運動到點B上時APE為等腰三角形，此時AE=EP，t=6；第三種情況，P在AB上，AP=PE；

試題解析：（1）設(shè)t秒后，△APE的面積為長方形面積的，

根據(jù)題意得：AP=t，∴△APE的面積==AP•AD=，解得：t=4，

∴4秒后，△APE的面積為長方形面積的；

（2）顯然當t=3時，PE⊥AB，

∴△APE是直角三角形，

當P在BC上時，△ADE∽△ECP，此時CP：de=CE：AD，解得：CP=，

∴PB=BC﹣PC=，∴；

∴t=3或時，△APE為直角三角形；

（3）①當P在AE垂直平分線上時，AP=EP，

過P作PQ⊥AE于Q，∵AD=4，DE=3，∴AE=5，∴AQ=2.5，

由△AQP∽△EDA，得：AP：AE=AQ：DE，∴AP：5=2.5：3，解得：AP=，∴t=；

②當EA=EB時，AP=6，∴t=6，

③當AE=AP時，∴t=5．

∴當t=或5或6時，△APE是等腰三角形．

考點：四邊形綜合題．