【題目】已知:如圖,在△ABC中,∠B=∠C.以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E.
(1)求證:DE與⊙O相切;
(2)延長DE交BA的延長線于點(diǎn)F,若AB=8,sinB=,求線段FA的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)FA=.
【解析】
(1)要想證DE是⊙O的切線,只要連接OD,求證∠ODE=90°即可;
(2)連接AD,根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AD=ABsinB=,求得∠B=∠ADE,得到sinB=sin∠ADE==,求得AE=AD=×=,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
(1)連接OD,則OD=OB,
∴∠B=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC.
∴∠ODE=∠DEC=90°,
∴DE是⊙O的切線;
(2)連接AD,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∵AB=8,sinB=,
∴AD=ABsinB=,
∵∠ODB+∠ADO=∠ADO+∠ADE=90°,
∴∠BDO=∠ADE,
∴∠B=∠ADE,
∴sinB=sin∠ADE==,
∴AE=AD=×=,
∵OD∥AE,
∴△FAE∽△FOD,
∴,
∵AB=8,
∴OD=AO=4,
∴=
∴FA=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=3,M是CD邊上一動點(diǎn)(不與D點(diǎn)重合),點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AM所在的直線對稱,連接AE,ME,延長CB到點(diǎn)F,使得BF=DM,連接EF,AF.
(1)依題意補(bǔ)全圖1;
(2)若DM=1,求線段EF的長;
(3)當(dāng)點(diǎn)M在CD邊上運(yùn)動時,能使△AEF為等腰三角形,直接寫出此時tan∠DAM的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一筆總額為元的獎金,分為一等獎、二等獎和三等獎,獎金金額均為整數(shù),每個一等獎的獎金是每個二等獎獎金的兩倍,每個二等獎的獎金是每個三等獎獎金的兩倍,若把這筆獎金發(fā)給個人,評一、二、三等獎的人數(shù)分別為,且,那么三等獎的獎金金額是_______元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,∠ACB=90°,過點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:四邊形ACED是矩形;
(2)連接AE交CD于點(diǎn)F,連接BF.若∠ABC=60°,CE=2,求BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,以AB邊上的中線CD為直徑作圓,如果與邊AB有交點(diǎn)E(不與點(diǎn)D重合),那么稱為△ABC的C﹣中線。纾鐖D中是△ABC的C﹣中線。谄矫嬷苯亲鴺(biāo)系xOy中,已知△ABC存在C﹣中線弧,其中點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2t,0)(t>0).
(1)當(dāng)t=2時,
①在點(diǎn)C1(﹣3,2),C2(0,2),C3(2,4),C4(4,2)中,滿足條件的點(diǎn)C是 ;
②若在直線y=kx(k>0)上存在點(diǎn)P是△ABC的C﹣中線弧所在圓的圓心,其中CD=4,求k的取值范圍;
(2)若△ABC的C﹣中線弧所在圓的圓心為定點(diǎn)P(2,2),直接寫出t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知線段AB,如果將線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC,則稱點(diǎn)C為線段AB關(guān)于點(diǎn)A的逆轉(zhuǎn)點(diǎn).點(diǎn)C為線段AB關(guān)于點(diǎn)A的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)的示意圖如圖1:
(1)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)_____為線段BC關(guān)于點(diǎn)B的逆轉(zhuǎn)點(diǎn);
(2)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0),且x>0,點(diǎn)E是y軸上一點(diǎn),點(diǎn)F是線段EO關(guān)于點(diǎn)E的逆轉(zhuǎn)點(diǎn),點(diǎn)G是線段EP關(guān)于點(diǎn)E的逆轉(zhuǎn)點(diǎn),過逆轉(zhuǎn)點(diǎn)G,F的直線與x軸交于點(diǎn)H.
①補(bǔ)全圖;
②判斷過逆轉(zhuǎn)點(diǎn)G,F的直線與x軸的位置關(guān)系并證明;
③若點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,5),連接PF、PG,設(shè)△PFG的面積為y,直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,∠B=45°,點(diǎn)C恰好在以AB為直徑的⊙O上.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)連接BD,若AB=8,求BD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=10,BC=15,tan∠A=點(diǎn)P為AD邊上任意一點(diǎn),連結(jié)PB,將PB繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ.若點(diǎn)Q恰好落在平行四邊形ABCD的邊所在的直線上,則PB旋轉(zhuǎn)到PQ所掃過的面積____(結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過B點(diǎn)作BF∥AC,過C點(diǎn)作CF∥BD,BF與CF相交于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形BFCO是菱形;
(2)連接OF、DF,若AB=2,tan∠OFD=,求AC的長.
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