Question

某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價(jià)，投放市場進(jìn)行試銷．據(jù)市場調(diào)查，銷售單價(jià)是100元時(shí)，每天的銷售量是50件，而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于成本．
（1）求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
（3）如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價(jià)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：銷售問題

分析：（1）根據(jù)“利潤=（售價(jià)-成本）×銷售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式方程，利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行解答；
（3）把y=4000代入函數(shù)解析式，求得相應(yīng)的x值；然后由“每天的總成本不超過7000元”列出關(guān)于x的不等式50（-5x+550）≤7000，通過解不等式來求x的取值范圍．

解答：解：（1）y=（x-50）[50+5（100-x）]
=（x-50）（-5x+550）
=-5x²+800x-27500
∴y=-5x²+800x-27500（50≤x≤100）；

（2）y=-5x²+800x-27500
=-5（x-80）²+4500
∵a=-5＜0，
∴拋物線開口向下．
∵50≤x≤100，對稱軸是直線x=80，
∴當(dāng)x=80時(shí)，y_最大值=4500；

（3）當(dāng)y=4000時(shí)，-5（x-80）²+4500=4000，
解得x₁=70，x₂=90．
∴當(dāng)70≤x≤90時(shí)，每天的銷售利潤不低于4000元．
由每天的總成本不超過7000元，得50（-5x+550）≤7000，
解得x≥82．
∴82≤x≤90，
∵50≤x≤100，
∴銷售單價(jià)應(yīng)該控制在82元至90元之間．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．