Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

（m≠0）的圖象交于二、四象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，與x軸 交于C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，n）
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△APC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）先把A（-3，4）代入y=

m

x

得到m的值，從而確定反比例函數(shù)的解析式為y=-

12

x

；再利用反比例函數(shù)解析式確定B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，-2），然后運(yùn)用待定系數(shù)法確定所求的一次函數(shù)的解析式為y=-

2

3

x+2；
（2）過(guò)A點(diǎn)作AP₁⊥x軸于P₁，AP₂⊥AC交x軸于P₂，則P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0）；再證明Rt△AP₂P₁∽R(shí)t△CAP₁，利用相似比計(jì)算出P₁P₂=

8

3

，則OP₂=3+

8

3

=

17

3

，所以P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

17

3

，0），于是得到滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）將A（-3，4）代入y=

m

x

，得m=-3×4=-12
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-

12

x

；
將B（6，n）代入y=-

12

x

，得6n=-12，解得n=-2，
∴B（6，-2），
將A（-3，4）和B（6，-2）分別代入y=kx+b（k≠0）得

-3k+b=4 6k+b=-2

，解得

k=- 2 3 b=2

，
∴所求的一次函數(shù)的解析式為y=-

2

3

x+2；

（2）存在．
過(guò)A點(diǎn)作AP₁⊥x軸于P₁，AP₂⊥AC交x軸于P₂，如圖，
∴∠AP₁C=90°，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，4），
∴P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0）；
∵∠P₂AC=90°，
∴∠P₂AP₁+∠P₁AC=90°，
而∠AP₂P₁+∠P₂AP₁=90°，
∴∠AP₂P₁=∠P₁AC，
∴Rt△AP₂P₁∽R(shí)t△CAP₁，
∴

AP1

CP1

=

P1P2

AP1

，即

4

6

=

P1P2

4

，
∴P₁P₂=

8

3

∴OP₂=3+

8

3

=

17

3

，
∴P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

17

3

，0），
∴滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）、（-

17

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：了解反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；會(huì)運(yùn)用三角形相似知識(shí)求線段的長(zhǎng)度．