【題目】在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=6cm,延長AB到E,使BE=2AB,連接CE,動點F從A出發(fā)以2cm/s的速度沿AE方向向點E運動,動點G從E點出發(fā),以3cm/s的速度沿E→C→D方向向點D運動,兩個動點同時出發(fā),當其中一個動點到達終點時,另一個動點也隨之停止,設動點運動的時間為t秒.

(1)當t為何值時,F(xiàn)C與EG互相平分;
(2)連接FG,當t< 時,是否存在時間t使△EFG與△EBC相似?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
(3)設△EFG的面積為y,求出y與t的函數(shù)關系式,求當t為何值時,y有最大值?最大值是多少?

【答案】
(1)解:如圖1,

∵AB=4,∴BE=2AB=8,

在Rt△BCE中,根據(jù)勾股定理得,CE=10,

由運動知,CG=3t﹣10,EF=AB+BE﹣2t=12﹣2t.

∵FC與EG互相平分,

∴點G必在CD邊上,

∴四邊形CEFG是平行四邊形,

∴CG=EF,

∴3t﹣10=12﹣2t,

∴t= ;


(2)解:∵當t< 時,點G在CE上,

∵△EFG與△EBC相似,

當△EFG∽△EBC時,

,

,

∴t=

當△EGF∽△EBC時,

,

∴t= ;


(3)解:當點G在CE上時,即:0<t≤ ,如圖3,

過點G作GM⊥BE,

∴GM∥BC,

∴△EMG∽△EBC,

,

,

∴GM= t,

∴y=SEFG= EFGM= ×(12﹣2t)× t=﹣ t2+ t=﹣ (t﹣3)2+ ;

當t=3時,y最大=

當點G在CD上時,即: <t≤

y=SEFG= EF×BC= (12﹣2t)×6=﹣6t+36.

即:t=3時,y最大=


【解析】(1)在Rt△BCE中,根據(jù)勾股定理得,由運動知,CG=3t﹣10,EF=AB+BE﹣2t=12﹣2t.CE=10,判斷出四邊形CEFG是平行四邊形,再用對邊相等建立方程即可得出結論;(2)分當t< 時,點G在CE上與當點G在CD上時,即: <t≤ 兩種情況,用相似三角形的對應邊成比例建立方程即可;(3)分點G在CE上時,即:0<t≤ 與點G在CD上時,即: <t≤ 兩種情況,用三角形的面積y=SEFG= EFGM與y=SEFG= EF×BC即可。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的面積的相關知識,掌握三角形的面積=1/2×底×高,以及對勾股定理的概念的理解,了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2

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分組

49.559.5

59.569.5

69.579.5

79.589.5

89.5100.5

合計

頻數(shù)

2

20

16

4

50

頻率

0.04

0.16

0.40

0.32

1

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