Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD為△ABC的角平分線，在AB上截取AE=AC，連接DE．
（1）如圖①，當(dāng)∠C=90°時(shí)，線段AB，AC，CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明．
（2）如圖②，當(dāng)∠C≠90°時(shí)，線段AB，AC，CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，直接寫出你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由角平分線的性質(zhì)證明△ADE≌△ADC就可以得出DE=CD，進(jìn)而證明BE=DE就可以得出結(jié)論；
（2）由角平分線的性質(zhì)證明△ADE≌△ADC就可以得出DE=CD，進(jìn)而由外角與內(nèi)角的關(guān)系可以得出BE=DE就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）AB=AC+CD．
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD．
在△ACD和△BAC中，

AC=AE ∠CAD=∠BAD AD=AD

∴△ACD≌△AED（SAS）
∴CD=ED，∠ACD=∠AED．
∵∠ACD=90°=2∠B，
∴∠AED=90°=2∠B，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=45°，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=ED，
∴BE=CD．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．
（2）AB=AC+CD．
理由：：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD．
在△ACD和△BAC中，

AC=AE ∠CAD=∠BAD AD=AD

∴△ACD≌△AED（SAS）
∴CD=ED，∠ACD=∠AED．
∵∠ACD=2∠B，
∴∠AED=2∠B．
∵∠AED=∠B+∠BDE，
∴2∠B=∠B+∠BDE，
∴∠B=∠BDE
∴BE=ED，
∴BE=CD．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．