Question

如圖，Rt△ABC中，AB=BC=8，∠B=90°，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，下列結(jié)論：①△BDN的周長為12；②M是AC的中點(diǎn)； ③∠CMD+∠BND=90°；④DM=DN，其中正確的是

 

．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：如圖，證明∠CMD+∠BND=360°-2（α+β）；求出α+β=135°，得到∠CMD+∠BND=90°，故③正確；證明AN=DN，得到△BDN的周長=DN+BN+BD=AB+BD=12；故①正確；運(yùn)用勾股定理求出BN=3，得到BN=3≠BD，∠DNB≠45°，進(jìn)而判斷②④不成立．

解答：解：如圖，∵AB=BC=8，∠B=90°，
∴∠A=∠C=45°；
由題意得：△AMN≌△DMN，
∴AN=DN（設(shè)為λ），∠ANM=∠DNM（設(shè)為α），
∠A=∠MDN=45°；∠AMN=∠DMN（設(shè)為β）；
∴∠CMD+∠BND=180°-2α+180°-2β
=360°-2（α+β）；而α+β=180°-45°=135°，
∴∠CMD+∠BND=90°，故③正確；
∵AB=BC=8，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴BN=8-λ，BD=4；
∴△BDN的周長=DN+BN+BD=AB+BD=12；
故①正確；
由勾股定理得：（8-λ）²+4²=λ²，解得：λ=5，
∴BN=3≠BD，
∴∠DNB≠45°，而∠MDN=45°，
∴DM∥BN不成立；而點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴②不成立；容易證明∠DMN≠∠DNM，
∴④不成立；
故正確答案為①③．

點(diǎn)評：該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深入觀察圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，準(zhǔn)確找出圖形中隱含的相等或全等關(guān)系．