Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

（1）求證：∠BDC=∠A；
（2）若CE=2，DE=1，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠A+∠DBO=90°，

∵CD切⊙O于D，

∴∠CDO=90°，

∴∠BDC+∠ODB=90°，

∵OD=OB，

∴∠DBO=∠ODB，

∴∠BDC=∠A

（2）解：∵CE⊥AE，

∴∠E=∠ADB=90°，

∴DB∥EC，

∴∠DCE=∠BDC，

∵∠BDC=∠A，

∴∠A=∠DCE，

∵∠E=∠E，

∴△AEC∽△CED，

∴ = ，

∴ = ，

∴AE=4，

∴AD=AE﹣DE=4﹣1=3

【解析】（1）出現(xiàn)切線時(shí)，常用的輔助線為連接切點(diǎn)和圓心，構(gòu)造直角，利用余角的性質(zhì)可證出;（2）利用直徑的性質(zhì)和平行的性質(zhì)，可證出△AEC∽△CED，對(duì)應(yīng)邊成比例求出AE，減去DE，求出AD.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的圓周角定理和切線的性質(zhì)定理，需要了解頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑才能得出正確答案．