Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，切點為A，BC交⊙O于點D，點E是AC的中點.

(1)試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若⊙O的半徑為2,∠B=45°，AC=4，求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4π

【解析】

（1）根據(jù)切線的定義可知∠CAB=90°，有圓周角定理可知∠ADB=90°，E為斜邊中點

（2）陰影部分的面積等于正方形AEDO的面積減去扇形AOD的面積．

(1)如圖，連接AD，OD

∵AB是直徑

∴∠ADB=90°

∴∠OAD=∠ODA，∠ODB=∠OBD

∠ADE=∠EAD，∠EDC=∠ECD

∵∠EAD+∠OAD=90°

∴∠ADE+∠ODA=90°

∴直線DE與⊙O相切

(2)由(1)可知△ACD與△ADB是直角三角形

若∠B=45°，則AC=AB=4，AE=EC=AO=DO=BO=2

∴四邊形AEDO為正方形

陰影面積=正方形AEDO扇形AOD==4π