Question

如圖①，我們知道順次連接三角形的三邊中的（把三邊二等分，此時等分數(shù)為2）可以吧原三角形分成4分形狀與大小相同的小三角形，如果把三條邊分別3等分（此時等分數(shù)為3），按圖②方式將等分點連起來，可以看到整個三角形被分成了9個形狀與大小相同的小三角形，…我們來研究這些形狀與大小相同的小三角形個數(shù)a、頂點數(shù)b、邊數(shù)c與等分數(shù)n之間的關(guān)系．

等分數(shù)n	小三角形個數(shù)a	頂點數(shù)b	邊數(shù)c
2	4	6	9
3	9	10	18
4	__________	__________	__________
5	__________	__________	__________
…	…	…	…

（1）如果把三角形的各邊分別4等分、5等分，并按上述的方法連接（如圖③、圖④所示），請將圖③、圖④中的小三角形個數(shù)，頂點數(shù)，邊數(shù)填入上述表格中；

（2）觀察上述，如果把三角形的各邊分別n等分（此時等分數(shù)為n），并按上述的方法連接，形狀與大小相同的小三角形個數(shù)a，頂點數(shù)b，邊數(shù)c都與等分數(shù)n存在一定的關(guān)系，請用含n的代數(shù)式分別表示出來；

（3）當n=10時，分別求出小三角形個數(shù)a、頂點數(shù)b、邊數(shù)c的值．

Answer 1

【考點】規(guī)律型：圖形的變化類．

【分析】（1）由三角形的各邊2等分，把原三角形分成4分形狀與大小相同的小三角形，頂點為1+2+3=6個，邊數(shù)為3×（1+2+3）=18個；三角形的各邊3等分，把原三角形分成9分形狀與大小相同的小三角形，頂點為1+2+3+4=10個，邊數(shù)為3×（1+2+3+4）=30個；三角形的各邊4等分，把原三角形分成16分形狀與大小相同的小三角形，頂點為1+2+3+4+5=15個，邊數(shù)為3×（1+2+3+4+5）=45個；…由此得出三角形的各邊n等分，把原三角形分成n²分形狀與大小相同的小三角形，頂點為1+2+3+…+n=n（n+1）個，邊數(shù)為3×（1+2+3+…+n）=n（n+1）個；由此計算得出答案即可；

（2）利用（1）中的規(guī)律得出答案即可；

（3）把n=10代入（2）中的規(guī)律求得答案即可．

【解答】解：（1）填表如下：

等分數(shù)n	小三角形個數(shù)a	頂點數(shù)b	邊數(shù)c
2	4	6	9
3	9	10	18
4	16	15	30
5	25	21	45
…	…	…	…

（2）小三角形個數(shù)a=n²，頂點數(shù)b=1+2+3+…+n=n（n+1）個，邊數(shù)c=3×（1+2+3+…+n）=n（n+1）個；

（3）當n=10時，小三角形個數(shù)a=100，頂點數(shù)b=55，邊數(shù)c=165．

【點評】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出點的排列規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．