Question

【題目】已知:r如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°.對角線AC、BD相交于點E。且AC⊥BD。（1）求證：CD=BC·AD；（2）點F是邊BC上一點，連接AF，與BD相交于點G，如果∠BAF=∠DBF，求證：。

Answer 1

【答案】見解答過程.

【解析】

試題（1）首先根據已知得出∠ACD=∠CBD，以及∠ADC=∠BCD=90°，進而求出△ACD∽△DBC，即可得出答案；

（2）首先證明△ABG∽△DBA，進而得出AG:AD=AB:BD，再利用△ABG∽△DBA，得出BG:AB="AB:BD" ，則AB2=BGBD，進而得出答案．

試題解析：證明：（1）∵AD∥BC，∠BCD=90°，

∴∠ADC=∠BCD=90°，

又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBD，

∴△ACD∽△DBC，

∴AD CD ="CD" BC ，

即CD2=BC×AD；

（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF，

∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF，

∵∠ABG=∠DBA，∴△ABG∽△DBA，

∴S△ABG:S△DBA =（）2=AG2:AD2，

而S△ABG:S△DBA="BG:BD" ，∴AG2:AD2 ="BG:BD" ．