【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,動點P從點B出發(fā),在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動,同時動點Q從點C出發(fā),在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動,運動時間為t秒(0<t<2),連接PQ.
(1)若△BPQ與△ABC相似,求t的值;
(2)試探究t為何值時,△BPQ的面積是cm2;
(3)直接寫出t為何值時,△BPQ是等腰三角形;
(4)連接AQ,CP,若AQ⊥CP,直接寫出t的值.
【答案】(1)t=1,t=;(2)t1=或t2=;(3) 當(dāng)t=或或時,△BPQ是等腰三角形;(4)t=
【解析】
(1)由勾股定理可求AB的長,分兩種情況討論,由相似三角形的性質(zhì)可求解;
(2)過點P作PE⊥BC于E,由平行線分線段成比例可得PE=3t,由三角形的面積公式列出方程可求解;
(3)分三種情況討論,由等腰三角形的性質(zhì)可求解;
(4)過P作PM⊥BC于點M,AQ,CP交于點N,則有PB=5t,PM=3t,MC=8-4t,根據(jù)△ACQ∽△CMP,得出AC:CM=CQ:MP,代入計算即可.
(1)∵∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,
∴AB===10cm,
∵△BPQ與△ABC相似,且∠B=∠B,
∴或,
當(dāng)時,
∴,
∴t=1,
當(dāng),
∴,
∴t=;
(2)如圖1,過點P作PE⊥BC于E,
∴PE∥AC,
∴,
∴PE==3t,.
∴S△BPQ=×(8﹣4t)×3t=,
∴t1=或t2=;
(3)①當(dāng)PB=PQ時,如圖1,過P作PE⊥BQ,
則BE=BQ=4﹣2t,PB=5t,
由(2)可知PE=3t,
∴BE===4t,
∴4t=4﹣2t,
∴t=
②當(dāng)PB=BQ時,即5t=8﹣4t,
解得:t=,
③當(dāng)BQ=PQ時,如圖2,過Q作QG⊥AB于G,
則BG=PB=t,BQ=8﹣4t,
∵△BGQ∽△ACB,
∴,
∴
解得:t=.
綜上所述:當(dāng)t=或或時,△BPQ是等腰三角形;
(4)過P作PM⊥BC于點M,AQ,CP交于點N,如圖3所示:則PB=5t,
∵AC⊥BC
∴△PMB∽△ACB,
∴=
∴BM=4t,PM=3t,且BQ=8﹣4t,BC=8,
∴MC=8﹣4t,CQ=4t,
∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,
∴∠NAC=∠PCM,
∵∠ACQ=∠PMC,
∴△ACQ∽△CMP,
∴,
∴
∴t=
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A(﹣1,0),B(5,0)兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(與點C,B不重合),過點D作DF⊥x軸于點F,交直線BC于點E,連接BD,直線BC能否把△BDF分成面積之比為2:3的兩部分?若能,請求出點D的坐標;若不能,請說明理由.
(3)若M為拋物線對稱軸上一動點,使得△MBC為直角三角形,請直接寫出點M的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場將每件進價為80元的A商品按每件100元出售,一天可售出128件.經(jīng)過市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品的銷售單價每降低1元,其日銷量可增加8件.設(shè)該商品每件降價x元,商場一天可通過A商品獲利潤y元.
(1)求y與x之間的函數(shù)解析式(不必寫出自變量x的取值范圍)
(2)A商品銷售單價為多少時,該商場每天通過A商品所獲的利潤最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】泉州市旅游資源豐富,①清源山、②開元寺、③崇武古城三個景區(qū)是人們節(jié)假日玩的熱點景區(qū),張老師對八(1)班學(xué)生“五·一”小長假隨父母到這三個景區(qū)游玩的計劃做了全面調(diào)查,調(diào)查分四個類別:A、游三個景區(qū);B,游兩個景區(qū);C,游一個景區(qū):D,不到這三個景區(qū)游玩現(xiàn)根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了不完整的條形統(tǒng)計圖和廟形統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中信息解答下列問題:
(1)八(1)班共有學(xué)生 人在扇形統(tǒng)計圖中,表示“B類別的扇形的圓心角的度數(shù)為 ;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若小華、小剛兩名同學(xué),各自從三個最區(qū)中隨機選一個作為5月1日游玩的景區(qū),請用樹狀圖或列表法求他們選中同個景區(qū)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(﹣1,2),且與x軸交點的橫坐標為x1、x2,其中﹣2<x1<﹣1、0<x2<1下列結(jié)論:①4a﹣2b+c<0②2a﹣b<0③abc>0④b2+8a>4ac正確的結(jié)論是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程.
(1)證明該方程一定有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)設(shè)該方程兩根為x1、x2(x1<x2).
①當(dāng)時,試確定y值的范圍;
②如圖,平面直角坐標系中有三點A、B、C,坐標分別為(x1,0)、(x2,3)、(7,0).以點C為圓心,2個單位長度為半徑的圓與直線AB相切,求n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】實踐與探究
在平面直角坐標系中,四邊形AOBC是矩形,點(0,0),點A(5,0),點B(0,3).以點A為中心,順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形ADEF,點O,B,C的對應(yīng)點分別為D,E,F.
(1)如圖(1),當(dāng)點D落在BC邊上時,求點D的坐標;
(2)如圖(2),當(dāng)點D落在線段BE上時,AD與BC交于點H.
①求證:ΔADB≌ΔAOB;
②求點H的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與軸、軸分別交于點、,拋物線經(jīng)過、兩點,且對稱軸為直線.
(1)求拋物線的表達式;
(2)如果點是這拋物線上位于軸下方的一點,且△的面積是.求點的坐標.
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