Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），△AOB為等邊三角形，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)O重合），以線段AP為一邊，在其右側(cè)作等邊三角形△APQ．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，∠ABQ的大小是否改變？如不改變，求出其大��；如改變，請(qǐng)說明理由．
（3）是否存在點(diǎn)P，使得△OBQ是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等腰三角形的判定,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；證明∠BOC=30°，OB=2，借助直角三角形的邊角關(guān)系即可解決問題．
（2）證明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即可解決問題．
（3）根據(jù)題意，結(jié)合圖形，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C．
∵△AOB為等邊三角形，且OA=2，
∴∠AOB=60°，OB=OA=2；
∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，
∴BC=

1

2

OB=1，OC=

3

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（

3

，1）．
（2）∠ABQ=90°，始終不變．理由如下：
∵△APQ、△AOB均為等邊三角形，
∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，
∴∠PAO=∠QAB；
在△APO與△AQB中，

AP=AQ ∠PAO=∠QAB ZO=AB

，
∴△APO≌△AQB（SAS）．
∴∠ABQ=∠AOP=90°．
（3）存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為P（-4，0）、P（4，0）．

點(diǎn)評(píng)：該題以平面直角坐標(biāo)系、等邊三角形為載體，以全等三角形的判定及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)為考查的核心構(gòu)造而成；對(duì)綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．