Question

如圖，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，△BEF為等腰直角三角形，∠BEF=90°，M為AF的中點(diǎn)，求證：ME=

1

2

CF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專(zhuān)題：證明題

分析：延長(zhǎng)EF到D，使DE=EF，連接AD、BD，判斷出△BDF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BD=BF，再求出∠CBF=∠ABD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=CF，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得ME=

1

2

AD，從而得到ME=

1

2

CF．

解答：證明：如圖，延長(zhǎng)EF到D，使DE=EF，連接AD、BD，
∵△BEF為等腰直角三角形，∠BEF=90°，
∴∠BFE=45°，BE⊥DF，
∴BE垂直平分DF，
∴∠BDE=45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BD=BF，∠DBF=90°，
∵∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∠ABD+∠ABF=∠DBF=90°，
∴∠CBF=∠ABD，
在△ABD和△CBF中，

AB=BC ∠CBF=∠ABD BD=BF

，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴AD=CF，
∵M(jìn)為AF的中點(diǎn)，DE=EF，
∴ME是△ADF的中位線，
∴ME=

1

2

AD，
∴ME=

1

2

CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，同角的余角相等的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．