Question

問題：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，點D是△ABC內的一點，且AD=CD，BD=BA．當∠BAC=90°時：
（1）依問題中的條件尺規(guī)作圖補全如圖．（不寫作法，但保留作圖痕跡）
（2）圖中AB與AC的數(shù)量關系為

 

；
（3）若求出∠DAC=15°，則進一步可推出∠DBC的度數(shù)為

 

；可得到∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值為

 

．

Answer 1

考點：作圖—復雜作圖

專題：

分析：（1）利用線段垂直平分線的性質以及其畫法得出AC的垂直平分線進而截取BD=AB即可；
（2）利用等腰三角形的判定與性質得出AB與AC的數(shù)量關系；
（3）利用三角形內角和定理以及等腰三角形的性質得出∠DBC的度數(shù)，進而得出∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）∵∠BAC=90°，∠BAC=2∠ACB，
∴∠ACB=45°，
∴∠CBA=45°，
∴AB=AC；
故答案為：相等；

（3）∵∠DAC=15°，∠CAB=90°，
∴∠DAB=75°，
∵AB=BD，
∴∠BDA=75°，
∴∠BDA=30°，
∴∠CBD=45°-30°=15°，
∴∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值為：15：45=1：3．
故答案為：15°，1；3．

點評：此題主要考查了復雜作圖以及線段垂直平分線的性質和畫法以及等腰三角形的性質等知識，熟練利用線段垂直平分線的性質得出D點位置是解題關鍵．