Question

【題目】如圖①，是的直徑，點(diǎn)是上的點(diǎn)，連結(jié)并延長至點(diǎn)，使，連結(jié)交于點(diǎn)．

（1）求證：點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)；

（2）如圖②，連結(jié)，若，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析,(2)

【解析】

（1）連接CE，由AE是⊙O的直徑，得到CE⊥AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AEC＝∠DEC，于是得到結(jié)論；

（2）連接BC，OB，OC，由已知條件得到△AED是等邊三角形，得到∠A＝60°，推出AE∥BC，∠BOC＝60°，于是得到結(jié)論．

（1）連接CE，

∵AE是⊙O的直徑，

∴CE⊥AD，

∵AC＝CD，

∴AE＝ED，

∴∠AEC＝∠DEC，

∴；

∴點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)；

（2）連接BC，OB，OC，

∵AE＝2AC＝4，

∴∠AEC＝30°，AE＝AD，

∴∠AED＝60°，

∴△AED是等邊三角形，

∴∠A＝60°，

∵，

∴，

∴AE∥BC，∠BOC＝60°，

∴S△OBC＝S△EBC，

∴S陰影＝S扇形＝=．