【題目】已知二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,求m和k的值;
(3)設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B,C(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)B,C間的部分(含點(diǎn)B和點(diǎn)C)向左平移個(gè)單位后得到的圖象記為C,同時(shí)將(2)中得到的直線(xiàn)向上平移n個(gè)單位.請(qǐng)結(jié)合圖象回答:當(dāng)平移后的直線(xiàn)與圖象G有公共點(diǎn)時(shí),n的取值范圍.
【答案】(1);
(2);
(3).
【解析】
(1)由二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等,可知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為,從而由對(duì)稱(chēng)軸公式,可求得,從而求得二次函數(shù)的解析式.
(2)由二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)A點(diǎn)代入可求得,從而由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A點(diǎn),代入可求得.
(3)根據(jù)平移的性質(zhì),求得平移后的二次函數(shù)和一次函數(shù)表達(dá)式,根據(jù)平移后的直線(xiàn)與圖象C有公共點(diǎn),求得公共點(diǎn)的坐標(biāo)即可.
解:(1)∵二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等,
∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為.
∴,解得.
∴二次函數(shù)解析式為.
(2)∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)A點(diǎn),
∴,A(-3,-6).
又∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A點(diǎn),
∴,解得.
(3)由題意可知,二次函數(shù)在點(diǎn)B,C間的部分圖象的解析式為
,,
則向左平移后得到的圖象C的解析式為,.
此時(shí)一次函數(shù)的圖象平移后的解析式為.
∵平移后的直線(xiàn)與圖象C有公共點(diǎn),
∴兩個(gè)臨界的交點(diǎn)為與.
∴當(dāng)時(shí),,即;
當(dāng)時(shí),,即.
∴
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線(xiàn)分別與軸、軸交于兩點(diǎn),點(diǎn)在軸上,,拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).
(1)求兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線(xiàn)的解析式;
(3)點(diǎn)是直線(xiàn)上方拋物線(xiàn)上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),作軸交于點(diǎn),求周長(zhǎng)的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,G是邊AB的中點(diǎn),平行于AB的動(dòng)直線(xiàn)l分別交△ABC的邊CA、CB于點(diǎn)M、N,設(shè)CM=m.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求△MNG的面積;
(2)若點(diǎn)G關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)G′,請(qǐng)求出點(diǎn)G′ 恰好落在△ABC的內(nèi)部(不含邊界)時(shí),m的取值范圍;
(3)△MNG是否可能為直角三角形?如果能,請(qǐng)求出所有符合條件的m的值;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四邊形 ABCD 中,∠A=∠B= 90°,點(diǎn) E 在邊 AB 上,點(diǎn) F 在 AD 的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且 點(diǎn) E 與點(diǎn) F 關(guān)于直線(xiàn) CD 對(duì)稱(chēng),過(guò)點(diǎn) E 作 EG∥AF 交 CD 于點(diǎn) G,連接 FG,DE.
(1)求證:四邊形 DEGF 是菱形;
(2)若 AB=10,AF=BC=8,求四邊形 DEGF 的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn) P 和圖形 M,給出如下定義:以點(diǎn) P 為圓心,以 r 為半徑作⊙P,使得圖形 M 上的所有點(diǎn)都在⊙P 的內(nèi)部(或邊上),當(dāng) r 最小時(shí),稱(chēng)⊙P 為圖形 M 的 P 點(diǎn) 控制圓,此時(shí),⊙P 的半徑稱(chēng)為圖形 M 的 P 點(diǎn)控制半徑.已知,在平面直角坐標(biāo)系中, 正方形 OABC 的位置如圖所示,其中點(diǎn) B(2,2)
(1)已知點(diǎn) D(1,0),正方形 OABC 的 D 點(diǎn)控制半徑為 r1,正方形 OABC 的 A 點(diǎn) 控制半徑為 r2,請(qǐng)比較大。r1 r2;
(2)連接 OB,點(diǎn) F 是線(xiàn)段 OB 上的點(diǎn),直線(xiàn) l:y= x+b;若存在正方形 OABC 的 F點(diǎn)控制圓與直線(xiàn) l 有兩個(gè)交點(diǎn),求 b 的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有甲乙兩個(gè)玩具小汽車(chē)在筆直的240米跑道上進(jìn)行折返跑游戲,甲從點(diǎn)出發(fā),勻速在、之間折返跑,同時(shí)乙從點(diǎn)出發(fā),以大于甲的速度勻速在、之間折返跑.在折返點(diǎn)的時(shí)間忽略不計(jì).
(1)若甲的速度為,乙的速度為,第一次迎面相遇的時(shí)間為,則與的關(guān)系式___________;
(注釋?zhuān)寒?dāng)兩車(chē)相向而行時(shí)相遇是迎面相遇,當(dāng)兩車(chē)在點(diǎn)相遇時(shí)也視為迎面相遇)
(2)如圖1,
①若甲乙兩車(chē)在距點(diǎn)20米處第一次迎面相遇,則他們?cè)诰?/span>點(diǎn)_______米第二次迎面相遇:
②若甲乙兩車(chē)在距點(diǎn)50米處第一次迎面相遇,則他們?cè)诰?/span>點(diǎn)__________米第二次迎面相遇;
(3)設(shè)甲乙兩車(chē)在距點(diǎn)米處第一次迎面相遇,在距點(diǎn)米處第二次迎面相遇.某同學(xué)發(fā)現(xiàn)了與的函數(shù)關(guān)系,并畫(huà)出了部分函數(shù)圖象(線(xiàn)段,不包括點(diǎn),如圖2所示).
①則_______,并在圖2中補(bǔ)全與的函數(shù)圖象(在圖中注明關(guān)鍵點(diǎn)的數(shù)據(jù));
②分別求出各部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】探究:如圖①,點(diǎn)在直線(xiàn)上,點(diǎn)在直線(xiàn)外,連結(jié).過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)作,交的平分線(xiàn)于點(diǎn),連結(jié).求證:.
應(yīng)用:如圖②,點(diǎn)在內(nèi)部,連結(jié).過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)作,交的平分線(xiàn)于點(diǎn);作,交的平分線(xiàn)于點(diǎn),連結(jié)、.若,則的大小為多少度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,已知點(diǎn)為正方形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與重合),分別過(guò)點(diǎn)向直線(xiàn)作垂線(xiàn),垂足分別為點(diǎn),連接和.
(1)求證:;
(2)如圖②,延長(zhǎng)正方形對(duì)角線(xiàn),當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),通過(guò)證明判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立;
(3)若點(diǎn)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),,求線(xiàn)段的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】合與實(shí)踐﹣﹣探究圖形中角之間的等量關(guān)系及相關(guān)問(wèn)題.
問(wèn)題情境:
正方形ABCD中,點(diǎn)P是射線(xiàn)DB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AP于點(diǎn)E,點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱(chēng),連接CQ,設(shè)∠DAP=α(0°<α<135°),∠QCE=β.
初步探究:
(1)如圖1,為探究α與β的關(guān)系,勤思小組的同學(xué)畫(huà)出了0°<α<45°時(shí)的情形,射線(xiàn)AP與邊CD交于點(diǎn)F.他們得出此時(shí)α與β的關(guān)系是β=2α.借助這一結(jié)論可得當(dāng)點(diǎn)Q恰好落在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上(如圖2)時(shí),α= °,β= °;
深入探究:
(2)敏學(xué)小組的同學(xué)畫(huà)出45°<α<90°時(shí)的圖形如圖3,射線(xiàn)AP與邊BC交于點(diǎn)G.請(qǐng)猜想此時(shí)α與β之間的等量關(guān)系,并證明結(jié)論;
拓展延伸:
(3)請(qǐng)你借助圖4進(jìn)一步探究:①當(dāng)90°<α<135°時(shí),α與β之間的等量關(guān)系為 ;
②已知正方形邊長(zhǎng)為2,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)α=β時(shí),PQ的長(zhǎng)為 .
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