Question

（一）蘭蘭在玩積木游戲時，把三個正方形積木擺成一定的形狀，正視圖如圖①，

問題（1）：若此中的三角形△DEF為直角三角形，P的面積為9cm²，Q的面積為15cm²，則M的面積為_______；
問題（2）：若P的面積為36cm²，Q的面積為64 cm²，同時M的面積為100 cm²，則△DEF為_______三角形；
（二）圖形變化：

Ⅰ.如圖②，分別以直角三角形的三邊為直徑向三角形外作三個半圓，你能找出這三個半圓的面積之間有什么關(guān)系嗎？請說明理由。
Ⅱ.如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長分別為3cm和4cm，以直角三角形的三邊為直徑作半圓，你能利用上面的結(jié)論求出陰影部分的面積嗎？

Answer 1

（一）（1）24；（2）直角；（二）；6

試題分析：（一）（1）根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理就可發(fā)現(xiàn)大正方形的面積是兩個小正方形的面積和；
（2）根據(jù)大正方形的面積等于兩個小正方形的面積和，可以得到其中兩條邊平方的和等于第三條邊的平方，即根據(jù)勾股定理的逆定理就可證明是直角三角形；
（二）I根據(jù)半圓的面積公式以及勾股定理就可發(fā)現(xiàn)：兩個小半圓的面積和等于大半圓的面積；
II根據(jù)上述結(jié)論就可發(fā)現(xiàn)：陰影部分的面積=直角三角形的面積．
（一）∵P=DE²，Q=EF²，M=DF²，DE²+EF²=DF²，
∴M=P+Q=24；
∵M=P+Q，
即DE²+EF²=DF²，
∴△DEF是直角三角形；
（二）I設(shè)直角三角形的邊從小到大分別是a，b，c．則a²+b²=c²．
兩邊同除以，即得：兩小半圓的面積和等于大半圓的面積．
II根據(jù)I中的結(jié)論，得陰影部分的面積=S直角三角形的面積=×3×4=6．
點評：解答本題的關(guān)鍵是注意：分別以直角三角形的邊作相同的圖形，則兩個小圖形的面積等于大圖形的面積．