Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE，分別交BE、CD于點(diǎn)H、F，聯(lián)結(jié)BF．
（1）求證：BE=BF；
（2）聯(lián)結(jié)BD，交AF于點(diǎn)O，聯(lián)結(jié)OE．求證：∠AEB=∠DEO．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=DA=BC=CD，∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°，求出∠ABH=∠HAE，證△ABE∽△DAF，得出比例式，求出AE=DF，CF=AE，證出Rt△ABE≌Rt△CBF即可；
（2）根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠ADB=∠CDB，證△DEO≌△DFO，推出∠DEO=∠DFO，根據(jù)△ABE∽△DAF推出∠AEB=∠DFA，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DA=BC=CD，∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°，
∴∠BAH+∠HAE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠AHB=90°，
即∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠ABH=∠HAE，
又∵∠BAE=∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴

AB

DA

=

AE

DF

，
∴AE=DF，
∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)F是邊DC的中點(diǎn)，
∴CF=AE，
在Rt△ABE與Rt△CBF中，

AB=CD AE=CF

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴BE=BF．

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
在△DEO與△DFO中，

ED=FD ∠ADB=∠CDB DO=DO

∴△DEO≌△DFO（SAS），
∴∠DEO=∠DFO，
∵△ABE∽△DAF，
∴∠AEB=∠DFA，
∴∠AEB=∠DEO．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，難度適中．