Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x²-2mx+m²-9．
（1）求證：無論m為何值，該拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且OA＜OB，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5），求此拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為N，若點(diǎn)M是線段AN上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MC⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)C，記點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，點(diǎn)P是線段MC上一點(diǎn)，且滿足MP=

1

4

MC，連結(jié)CD，PD，作PE⊥PD交x軸于點(diǎn)E，問是否存在這樣的點(diǎn)E，使得PE=PD？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì)

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）令y=0，則x²-2mx+m²-9=0，根據(jù)根的判別式b²-4ac=（-2m）²-4（m²-9）=36＞0，所以無論m為何值，該拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）直接將C點(diǎn)（0，-5）代入y=x²-2mx+m²-9根據(jù)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且OA＜OB），求出m的值即可；
（3）假設(shè)E點(diǎn)存在由直角三角形的性質(zhì)可以得出∠MEP=∠CPD．再根據(jù)條件可以得出△EPM≌△PDC就有PM=DC，EM=PC，設(shè)C（x₀，y₀），則D（4-x₀，y₀），P（x₀，

1

4

y₀）．根據(jù)PM=DC就有2x₀-4=-

1

4

y₀，由C點(diǎn)在拋物線上有2x₀-4=-

1

4

（ x₀²-4x₀-5），求出x₀的值就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）令y=0，則x²-2mx+m²-9=0，
∵△=（-2m）²-4m²+36＞0，
∴無論m為何值時(shí)方程x²-2mx+m²-9=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∵拋物線y=x²-2mx+m²-9的開口向上，頂點(diǎn)在x軸的下方，
∴該拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）∵拋物線y=x²-2mx+m²-9與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5），
∴-5=m²-9．
解得：m=±2．
當(dāng)m=-2，y=0時(shí)，x²+4x-5=0
解得：x₁=-5，x₂=1，
∵拋物線y=x²-2mx+m²-9與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且OA＜OB），
∴m=-2不符合題意，舍去．
∴m=2．
∴拋物線的解析式為y=x²-4x-5；


（3）如圖2，假設(shè)E點(diǎn)存在，
∵M(jìn)C⊥EM，CD⊥MC，
∴∠EMP=∠PCD=90°．
∴∠MEP+∠MPE=90°
∵PE⊥PD，
∴∠EPD=90°，
∴∠MPE+∠DPC=90°
∴∠MEP=∠CPD．
在△EMP和△PCD中，

∠EMP=∠PCD ∠MEP=∠CPD PE=PD

，
∴△EPM≌△PDC（AAS）．
∴PM=DC，EM=PC
設(shè)C（x₀，y₀），則D（4-x₀，y₀），P（x₀，

1

4

y₀）．
∴2x₀-4=

1

4

y₀．
∵點(diǎn)C在拋物線y=x²-4x-5上；
∴y₀═x₀²-4x₀-5
∴2x₀-4=

1

4

（x₀²-4x₀-5）．
解得：x₀₁=1，x₀₂=11（舍去），
∴P（1，-2）．
∴PC=6．∴ME=PC=6．
∴E（7，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了利用一元二次方程根的情況來確定拋物線與x軸的交點(diǎn)情況，以及運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)先運(yùn)用待定系數(shù)法求出解析式是關(guān)鍵，解答中靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)是重點(diǎn)難點(diǎn)．