Question

如圖，直線y=-x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D的坐標(biāo)為（-1，0），在直線y=-x+3上有一點P，使△ABO與△ADP相似，求出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式，可求出直線與坐標(biāo)軸的交點，根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；
（2）兩直角三角形相似，又有一個公共角，故只需另一個角為直角即可得到相似，故分兩種情況討論，可得答案．

解答：解：（1）直線y=-x+3交x軸于點A，交y軸于點B，
∴A（3，0），B（0，3）．
拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點

0=9a+3b+c    ① 3=c    ② 0=a+b+c   ③

解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3；
（2）①如圖1，作PD垂直x軸于點D：
∵△ABO與△ADP相似
∴

PD

BO

=

AD

AO

PD

3

=

3-(-1)

3

PD=4，
∴P點坐標(biāo)是（-1，4）．
②如圖2，作P′D垂直AB于點P′交y軸于點F：
∵△ABO與△ADP相似
∴∠P′DA=∠BAO=45°，
∴

AD

P′D

=

2

1

，
∴P′D=2

2

，
∵DF=

2

，
∴

DO

DC

=

DF

DP′

=

1

2

∴P′C∥OF
∴P′C=CD=2
∴P點坐標(biāo)為（1，2）

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的對應(yīng)邊成比例．