Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，BP⊥AB，OP∥AC，交BP于點(diǎn)P連PC，且
PC=20．
（1）求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）將

BC

沿弦BC對(duì)折后交直徑AB于D，若

AD

BD

=

2

3

，求弦BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）連接AC，OC，求出∠COP=∠BOP，證△PCO≌△PBO，推出∠PCO=∠PBO=90°，根據(jù)切線(xiàn)的判定推出即可；
（2）延長(zhǎng)AC到A′，使AC=A′C，連接BA′交⊙O于D′，證△AD′A′∽△PCO，求出AD′，根據(jù)勾股定理求出AB、PO，證△PBO∽△BCA，得出比例式．代入求出即可．

解答：（1）證明：連接OC、AC，
∵OP∥AC，
∴∠POB=∠A，∠POC=∠OCA，
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
∴∠POC=∠POB，
在△POC和△POB中，

OP=OP ∠POC=∠POB OC=OB

，
∴△POC≌△POB（SAS），
∴∠PCO=∠PBO，
∵PB⊥AB，
∴∠PBO=90°，
∴∠PCO=90°，
∵OC為半徑，
∴PC是⊙O切線(xiàn)．

（2）解：∵△POC≌△POB，
∴PB=PC=20，
延長(zhǎng)AC到A′，使AC=A′C，連接BA′交⊙O于D′，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴A和A′關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，
∵AD：BD=2：3，
∴設(shè)AD=2x，BD=3x，則AB=5x，OC=OB=2.5x，
∴AD=AD′=2x，BD′=BD=3x，
∵A和A′關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，
∴∠A′=∠CAB，
∵∠COP=∠CAB，
∴∠A′=∠COP，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠AD′B=∠A′D′A=90°，
∵∠PCO=90°，
∴∠PCO=∠AD′A′=90°，
∵∠PCO=∠A′，
∴△PCO∽△AD′A′，
∴

PC

OC

=

AD′

A′D′

，
∴

20

2.5x

=

AD′

2x

，
∴AD′=16，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：（5x）²-（3x）²=16²，
解得x=4，
∴AB=20，OB=10，
在Rt△PBO中，由勾股定理得：PO=

102+202

=10

5

，
∵∠POB=∠CAB，∠PBO=∠ACB=90°，
∴△PBO∽△BCA，
∴

PB

BC

=

PO

AB

，
∴

20

BC

=

10 5

20

，
∴BC=8

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)和判定，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱(chēng)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．