Question

有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4．將這副直角三角板按如圖1所示位置擺放，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上．現(xiàn)固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）如圖2，當(dāng)三角板DEF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D到點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)EF與BC交于點(diǎn)M，則∠EMC= 度；

（2）如圖3，當(dāng)三角板DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求FC的長(zhǎng)；

（3）在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)BF=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并求出對(duì)應(yīng)的x取值范圍．

 

 

Answer 1

(1) 15°；(2) ；(3) 當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y=?x2+4x+8；當(dāng)2＜x≤6-2時(shí),y=?x2+18；當(dāng)6-2＜x≤6時(shí)，y=x2-6x+18．

【解析】

試題分析：（1）如題圖2所示，由三角形的外角性質(zhì)可得；

（2）如題圖3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；

（3）認(rèn)真分析三角板的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，明確不同時(shí)段重疊圖形的變化情況：

（I）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，如圖1所示；

（II）當(dāng)2＜x≤6-2時(shí)，如圖2所示；

（III）當(dāng)6-2＜x≤6時(shí)，如圖3所示．

試題解析：（1）如題圖2所示，

∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4，

∴tan∠DFE=，

∴∠DFE=60°，

∴∠EMC=∠FMB=∠DFE-∠ABC=60°-45°=15°；

（2）如題圖3所示，當(dāng)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，

FC=；

（3）在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

（I）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，如答圖1所示：

設(shè)DE交BC于點(diǎn)G．

過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，則△MNB為等腰直角三角形，MN=BN．

又∵NF= ,BN=NF+BF，

∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．

y=S△BDG-S△BFM=BD•DG-BF•MN=（x+4）2-x×x

=?x2+4x+8；

（II）當(dāng)2＜x≤6-2時(shí)，如圖2所示：

過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，則△MNB為等腰直角三角形，MN=BN．

又∵NF=，BN=NF+BF，

∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．

y=S△ABC-S△BFM=AB•AC-BF•MN=×62-x×x．

=?x2+18；

當(dāng)6-2＜x≤6時(shí)，如圖3所示：

由BF=x，則AF=AB-BF=6-x，

設(shè)AC與EF交于點(diǎn)M，則AM=AF•tan60°=（6-x）．

y=S△AFM=AF•AM=（6-x）×（6-x）

=x2-6x+18．

考點(diǎn)：相似形綜合題．