Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D、E、F分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作射線QK⊥AB，交折線BC﹣CA于點(diǎn)G．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P繞行一周回到點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在DE上，若S△PBQ＝，求t的值．

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到折線EF﹣FC上，且點(diǎn)P又恰好落在射線QK上時(shí)，求t的值；

（3）連結(jié)PG，當(dāng)PG∥AB時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

【答案】（1）t1＝2，t2＝；（2）t1＝4；t2＝7；（3）t1＝；t2＝7．

【解析】

（1）由勾股定理和三角形中位線定理可求DE的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求PH的長(zhǎng)，由三角形面積公式可求解；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在EF上（≤t≤5時(shí)根據(jù)△PQE∽△BCA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，可以求出t的值；

②當(dāng)點(diǎn)P在FC上（5≤t≤）時(shí)，PB＝PF+BF就可以得到；

（3）當(dāng)PG∥AB時(shí)四邊形PHQG是矩形，由此可以直接寫(xiě)出t．

解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H，

∵∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，

∴BC＝＝＝40，

∵D、E、F分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)，

∴DE＝BC＝20，DE∥BC，EF∥AC，

∴∠AED＝∠ABC，

∴sin∠AED＝sin∠ABC＝，

∴

∴PH＝（20﹣7t）

∴S△PBQ＝×4t×（20﹣7t）＝

∴t1＝2，t2＝；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在EF上（≤t≤5）時(shí)，

如圖2，QB＝4t，DE+EP＝7t，

∵EF∥AC，

∴∠FEB＝∠A，且∠PQE＝∠ACB，

∴△PQE∽△BCA，

∴

∴

∴t＝4；

②當(dāng)點(diǎn)P在FC上（5≤t≤）時(shí)，

如圖3，已知QB＝4t，從而PB＝＝＝5t，

由PF＝7t﹣35，BF＝20，得5t＝7t﹣35+20．

解得t＝7；

（3）PG∥AB可分為以下幾種情形：
當(dāng)0＜t≤時(shí)，點(diǎn)P下行，點(diǎn)G上行，可知其中存在PG∥AB的時(shí)刻，如圖4；此后，點(diǎn)G繼續(xù)上行到點(diǎn)F時(shí)，t=4，而點(diǎn)P卻在下行到點(diǎn)E再沿EF上行，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)不存在PG∥AB；當(dāng)5≤t≤時(shí)，點(diǎn)P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于點(diǎn)P比點(diǎn)G先到達(dá)點(diǎn)C并繼續(xù)沿CD下行，所以在＜t＜8中存在PG∥AB的時(shí)刻，如圖5，當(dāng)8≤t≤10時(shí)，點(diǎn)P，G均在CD上，不存在PG∥AB．

∴當(dāng)0＜t≤時(shí)，點(diǎn)P下行，點(diǎn)G上行，可知其中存在PG∥AB的時(shí)刻，如圖4；過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB，

∵PG∥AB，PH∥GQ

∴四邊形PGQH是平行四邊形，且PH⊥AB，

∴四邊形PGQH是矩形，

∴PH＝GQ，且∠B＝∠AED，∠PHE＝∠GQB＝90°，

∴△PHE≌△GQB（AAS）

∴HE＝QB

∵cos∠AED＝cos∠ABC＝，

∴

∴HE＝（20﹣7t）

∴（20﹣7t）＝4t，

∴t＝；

當(dāng)在＜t＜8中存在PG∥AB的時(shí)刻，如圖5，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB，

∴四邊形PGHQ是矩形，

∴PH＝GQ

∵PH==（85﹣7t），GQ===3t，

∴（85﹣7t）＝3t

∴t＝7．