Question

如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D是BC邊上的中點，已知sin∠C=

5

13

，AC=12．
（1）求BC的長；
（2）求sin∠ADB的值．

Answer 1

考點：解直角三角形,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）先在直角△ABC中，由sin∠C=

5

13

，根據正弦函數(shù)的定義可設AB=5k，則BC=13k，由勾股定理求出AC=

BC2-AB2

=12k，而AC=12，那么k=1，于是求出AB=5，BC=13；
（2）先根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AD=

1

2

BC=

13

2

，再過A作AE⊥BC于E．根據S_△ABC=

1

2

BC•AE=

1

2

AB•AC，求出AE=

60

13

，然后在直角△ADE中利用正弦函數(shù)的定義即可求出sin∠ADB的值．

解答：解：（1）直角△ABC中，∵∠BAC=90°，sin∠C=

5

13

，
∴

AB

BC

=

5

13

，
設AB=5k，則BC=13k，
由勾股定理得，AC=

BC2-AB2

=12k，
∵AC=12，
∴12k=12，
∴k=1，
∴AB=5，BC=13；

（2）∵直角△ABC中，∠BAC=90°，D是BC邊上的中點，
∴AD=

1

2

BC=

13

2

．
過A作AE⊥BC于E．
∵S_△ABC=

1

2

BC•AE=

1

2

AB•AC，
∴AE=

AB•AC

BC

=

5×12

13

=

60

13

，
∴sin∠ADB=

AE

AD

=

60 13

13 2

=

120

169

．

點評：本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，三角形的面積，難度適中．（2）中準確作出輔助線求出AE的長是解題的關鍵．