Question

如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上的一點，AE⊥CD交DC的延長線于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AB=10，BD=3，求AE的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）求出AC平分∠EAF，推出OC∥AE，推出OC⊥DE，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質求出OB=5，根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)三角形面積公式求出CF，求出OF，根據(jù)勾股定理求出AE=AF，求出AF即可．

解答：（1）解：
DE與⊙O的位置關系式相切．
理由是：連接OC，
∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF，
∴∠EAC=∠CAF，
∵OA=OC，
∴∠CAF=∠OCA，
∴∠OCA=∠EAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC為⊙O半徑，
∴DE是⊙O的切線，
即DE與⊙O的位置關系式相切．

（2）解：
∵OC⊥DE，
∴∠OCD=90°，
∵AB=10，BD=3，
∴OB=5=0C，
由勾股定理得：CD=

(3+5)2-52

=

39

，
由三角形面積公式得：

1

2

OC×CD=

1

2

OD×CF，
∴5×

39

=8×CF，
∴CF=

5 39

8

，
由勾股定理得：OF=

52-( 5 39 8 )2

=

25

8

，
∵在Rt△AEC和Rt△AFC中，AC=AC，EC=CF，由勾股定理得：AE=AF，
∴AE=AF=AO+OF=5+

25

8

=

65

8

．

點評：本題考查了切線的性質和判定，三角形的面積，平行線的性質和判定，勾股定理，等知識點的綜合運用，主要考查學生的推理和計算能力．