Question

【題目】如圖，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于點 D，O 為 AB 上一點，經(jīng)過點 A、D 的⊙O 分別交 AB、AC 于點 E、F，

（1）求證：BC 是⊙O 切線；

（2）設 AB=m，AF=n，試用含 m、n 的代數(shù)式表示線段 AD 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，由AD為角平分線得到∠BAD=∠CAD，再由等邊對等角得到∠OAD=∠ODA，等量代換得到∠ODA=∠CAD，進而得到OD∥AC，得到OD與BC垂直，即可得證；
（2）連接DF，由（1）得到BC為圓O的切線，結(jié)合角度的運算得出∠CDF=∠DAF，進而得到∠AFD＝∠ADB，結(jié)合∠BAD＝∠DAF得到△ABD∽△ADF，由相似得比例，即可表示出AD；

（1）證明：如圖，連接OD，則OD為圓O的半徑，

∵AD 平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∴∠ODC=∠C=90°

即OD⊥BC，

∴BC 是⊙O 切線．

（2）連接DF，OF，由（1）知BC為圓O的切線，

∴∠ODC=90°，

∴∠ODF+∠CDF=90°，

∴∠ODF=90°-∠CDF，

∵OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD=，

又∵∠DAF=，

∴∠ODF=

∴∠CDF=∠DAF

又∵∠CDF+∠CFD=90°，∠DAF+∠CDA=90°，

∴∠CDA＝∠CFD，
∴∠AFD＝∠ADB，
∵∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，

∴，則

∵AB=m，AF=n，

∴

∴