Question

某數(shù)學(xué)興趣小組在探索“圓的有關(guān)相交弦問題”時(shí)，
甲同學(xué)說：我知道經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)有無數(shù)條弦，并且存在最長(zhǎng)弦和最短弦．
乙同學(xué)說：我能證明經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦被這一點(diǎn)分成兩條線段的積是定值（R²-d²）．請(qǐng)你以甲乙同學(xué)所說的作為依據(jù)，結(jié)合自己所學(xué)的知識(shí)探索：P是⊙O中一點(diǎn)，⊙O的半徑R=5cm，d=OP=3cm．請(qǐng)你直接寫出經(jīng)過P點(diǎn)的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)=

 

，最短弦長(zhǎng)=

 

．并說出最長(zhǎng)弦與最短弦的位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：根據(jù)題意可知，圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦是直徑，最短的弦是過點(diǎn)P與直經(jīng)AB垂直的弦．

解答：解：如圖所示：
∵⊙O的半徑R=5cm，
∴AB=2R=10cm，
連接OC，
∵OC=5cm，OP=3cm，
∴PC=

52-32

=4cm，
∴CD=2PC=8cm．
故答案分別為：10cm，8cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，解決與弦有關(guān)的問題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長(zhǎng)的一半為三邊的直角三角形，再根據(jù)勾股定理求解．