Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動點(diǎn)（異于點(diǎn)A、C），連接BC，AC，PA，PB，PB與AC交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

①若△CBD，△DAP的面積分別為S1和S2，當(dāng)S1﹣S2最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)E．以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將線段PE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段P′E′．當(dāng)線段P′E′與直線PE有交點(diǎn)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為F，求交點(diǎn)F的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①P（1，4）；②.

【解析】

（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣3）（x+1），利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；

（2）①求直線AC的解析式,然后分別表示出 兩個(gè)三角形的面積,然后求S1﹣S2的解析式,從而求最小值,最后確定點(diǎn)P坐標(biāo);

②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段P′E′與直線PE有交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍，從而求解．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0），B（﹣1，0）

∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），

將(0,3)代入得,﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）設(shè) ,將點(diǎn)A(3,0)、C（0，3）的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得： ,解得

∴直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+2m+3），則點(diǎn)E（m，﹣m+3），

①S1﹣S2＝S△BAC﹣S△BAP＝×AB×（3+m2﹣2m﹣3）＝2（m2﹣2m）=，

∴當(dāng)m＝1時(shí)，S1﹣S2最小，此時(shí)點(diǎn)P（1，4）；

②將線段PE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段P′E′，

則點(diǎn)E′、P′的坐標(biāo)分別為：（﹣m+3，﹣m）、（﹣m2+2m+3，﹣m），

當(dāng)線段P′E′與直線PE有交點(diǎn)時(shí)，即點(diǎn)F在E′P′之間，

即﹣m+3≤m≤﹣m2+2m+3，

解得：≤m≤，

故交點(diǎn)F的路徑長為：﹣＝．