Question

我們規(guī)定：函數y=

ax+k

x+b

（a、b、k是常數，k≠ab）叫奇特函數．當a=b=0時，奇特函數y=

ax+k

x+b

就是反比例函數y=

k

x

（k是常數，k≠0）．
（1）如果某一矩形兩邊長分別是2和3，當它們分別增加x和y后，得到新矩形的面積為8．求y與x之間的函數表達式，并判斷它是否為奇特函數；
（2）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A、C坐標分別為（6，0）、（0，3），點D是OA中點，連接OB、CD交于E，若奇特函數y=

ax+k

x-4

的圖象經過點B、E，求該奇特函數的表達式；
（3）把反比例函數y=

2

x

的圖象向右平移4個單位，再向上平移

 

個單位就可得到（2）中得到的奇特函數的圖象；
（4）在（2）的條件下，過線段BE中點M的一條直線l與這個奇特函數圖象交于P，Q兩點（P在Q右側），如果以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為16，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題,待定系數法求一次函數解析式,反比例函數系數k的幾何意義,平行四邊形的判定與性質,中心對稱圖形

專題：壓軸題,新定義

分析：（1）只需運用矩形的面積公式就可求出函數關系式，從而解決問題；
（2）可先求出直線OB和直線CD的解析式，求出它們的交點E的坐標，然后只需運用待定系數法就可解決問題；
（3）只需將（2）中所求的奇特函數y=

2x-6

x-4

轉化為y=2+

2

x-4

，就可解決問題；
（4）將坐標原點平移到點M的位置，構建新的坐標系，在新的坐標系中，分點P在點B的左邊和右邊兩種情況討論，只需先求出點P在新坐標系下的坐標，就可求出點P在原坐標系下的坐標．

解答：解：（1）由題意得：（2+x）（3+y）=8．
即3+y=

8

x+2

，
∴y=

8

x+2

-3=

-3x+2

x+2

．
根據定義，y=

-3x+2

x+2

是奇特函數．

（2）如圖1，

由題意得：B（6，3）、D（3，0），
設直線OB的解析式為y=mx，
則有6m=3，
解得：m=

1

2

，
∴直線OB的解析式為y=

1

2

x．
設直線CD的解析式為y=kx+b，

3k+b=0 b=3

，
解得：

k=-1 b=3

，
∴直線CD的解析式為y=-x+3．
解方程組

y= 1 2 x y=-x+3

，得

x=2 y=1

，
∴點E（2，1）．
將點B（6，3）和E（2，1）代入y=

ax+k

x-4

得

6a+k 6-4 =3 2a+k 2-4 =1

，
解得：

a=2 k=-6

，
∴奇特函數的表達式為y=

2x-6

x-4

．

（3）∵y=

2x-6

x-4

=

2x-8+2

x-4

=2+

2

x-4

．
∴把反比例函數y=

2

x

的圖象向右平移4個單位，再向上平移2個單位，
就可得到奇特函數y=

2x-6

x-4

的圖象；
故答案為：2．

（4）滿足條件的點P的坐標為（2

5

，

5

+4）或（2

5

+8，

5

）．
提示：①若點P在點B的左邊，如圖2①，

以點M為原點，構建如圖2①所示的新坐標系，
在該坐標系下該奇特函數的解析式為y′=

2

x′

，點B的新坐標為（2，1）．
∵直線PQ與雙曲線y′=

2

x′

都是以點M為對稱中心的中心對稱圖形，
∴MP=MQ．
∵MB=ME，
∴四邊形BPEQ是平行四邊形，
∴S_?BPEQ=4S_△BMP=16，
∴S_△BMP=4．
過點P作PG⊥x′軸于G，過點B作BH⊥x′軸于H，
根據反比例函數比例系數的幾何意義可得：
S_△PGM=S_△BHM=

1

2

×2=1，
∴S_△BMP=S_△PGM+S_梯形BHGP-S_△BHM=S_梯形BHGP=4，
設點P在新坐標系中的坐標為（x′，

2

x′

），
則有S_梯形BHGP=

1

2

（1+

2

x′

）•（2-x′）=4，
解得x₁′=-4-2

5

（舍去），x₂′=-4+2

5

，
當x=-4+2

5

時，

2

x′

=

2

-4+2 5

=

5

+2，
即點P在新坐標系中的坐標為（-4+2

5

，

5

+2），
∴點P在原坐標系中的坐標為（-4+2

5

+4，

5

+2+2）即（2

5

，

5

+4）；
②若點P在點B的右邊，如圖2②，

同理可得：
點P在原坐標系中的坐標為（4+2

5

+4，

5

-2+2）即（2

5

+8，

5

）．

點評：本題屬于新定義型，考查了運用待定系數法求函數的解析式，求兩函數圖象的交點、平行四邊形的判定與性質、反比例函數比例系數的幾何意義等知識，運用平移坐標軸法是解決第（4）小題的關鍵．