Question

如圖，AB是大半圓O的直徑，AO是小半圓M的直徑，點P是大半圓O上一點，PA與小半圓M交于點C，過點C作CD⊥OP于點D．
（1）求證：CD是小半圓M的切線；
（2）若AB=8，點P在大半圓O上運動（點P不與A，B兩點重合），設PD=x，CD²=y．
①求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當y=3時，求P，M兩點之間的距離．

Answer 1

考點：圓的綜合題,平行線的判定與性質,等邊三角形的判定與性質,勾股定理,切線的判定,相似三角形的判定與性質,特殊角的三角函數值

專題：代數幾何綜合題

分析：（1）連接CO、CM，只需證到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需證到CM∥OP，只需證到CM是△AOP的中位線即可．
（2）①易證△ODC∽△CDP，從而得到CD²=DP•OD，進而得到y(tǒng)與x之間的函數關系式．由于當點P與點A重合時x=0，當點P與點B重合時x=4，點P在大半圓O上運動（點P不與A，B兩點重合），因此自變量x的取值范圍為0＜x＜4．
②當y=3時，得到-x²+4x=3，求出x．根據x的值可求出CD、PD的值，從而求出∠CPD，運用勾股定理等知識就可求出P，M兩點之間的距離．

解答：解：（1）連接CO、CM，如圖1所示．
∵AO是小半圓M的直徑，
∴∠ACO=90°即CO⊥AP．
∵OA=OP，
∴AC=PC．
∵AM=OM，
∴CM∥PO．
∴∠MCD=∠PDC．
∵CD⊥OP，
∴∠PDC=90°．
∴∠MCD=90°即CD⊥CM．
∵CD經過半徑CM的外端C，且CD⊥CM，
∴直線CD是小半圓M的切線．

（2）①∵CO⊥AP，CD⊥OP，
∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°．
∴∠OCD=90°-∠DCP=∠P．
∴△ODC∽△CDP．
∴

CD

DP

=

OD

CD

．
∴CD²=DP•OD．
∵PD=x，CD²=y，OP=

1

2

AB=4，
∴y=x（4-x）=-x²+4x．
當點P與點A重合時，x=0；當點P與點B重合時，x=4；
∵點P在大半圓O上運動（點P不與A，B兩點重合），
∴0＜x＜4．
∴y與x之間的函數關系式為y=-x²+4x，
自變量x的取值范圍是0＜x＜4．

②當y=3時，-x²+4x=3．
解得：x₁=1，x₂=3．
Ⅰ．當x=1時，如圖2所示．
在Rt△CDP中，
∵PD=1，CD=

3

．
∴tan∠CPD=

CD

PD

=

3

，
∴∠CPD=60°．
∵OA=OP，
∴△OAP是等邊三角形．
∵AM=OM，
∴PM⊥AO．
∴PM=

PO2-MO2

=

42-22

=2

3

．
Ⅱ．當x=3時，如圖3所示．
同理可得：∠CPD=30°．
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠APO=30°．
∴∠POB=60°
過點P作PH⊥AB，垂足為H，連接PM，如圖3所示．
∵sin∠POH=

PH

OP

=

PH

4

=

3

2

，
∴PH=2

3

．
同理：OH=2．
在Rt△MHP中，
∵MH=4，PH=2

3

，
∴PM=

MH2+PH2

=

42+(2 3 )2

=2

7

．
綜上所述：當y=3時，P，M兩點之間的距離為2

3

或2

7

．

點評：本題考查了切線的判定、平行線的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、特殊角的三角函數值、勾股定理等知識，綜合性比較強．