Question

如圖，在正方形ABCD中，E是邊CD上一點，AF⊥AE交CB的延長線于點F，聯(lián)結(jié)DF，分別交AE、AB于點G、P．
（1）求證：AE=AF；
（2）若∠BAF=∠BFD，求證：四邊形APED是矩形．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定

專題：證明題

分析：（1）若要證明AE=AF，則可證明以上兩條線段所在的三角形全等即可；
（2）利用正方形的性質(zhì)以及垂直定義得出∠1=∠3=∠4=∠5，進而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出AP=DE，進而利用平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠ABC=∠DAB=90°，AD=AB，AD∥BC，AB∥CD，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
在△ADE和△ABF中，

∠DAE=∠BAF AD=AB ∠ADE=∠ABF=90°

，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AF=AE；
（2）∵AF⊥AE，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵AD∥FC，
∴∠4=∠5，
∵∠1=∠5，
∴∠1=∠3=∠4=∠5，
在△ADE和△DAP中，

∠3=∠4 AD=AD ∠ADE=∠DAP

，
∴△ADE≌△DAP（ASA），
∴AP=DE，
又∵AP∥DE，
∴四邊形APED是平行四邊形，
∵∠PAD=90°，
∴平行四邊形APED是矩形．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定和矩形的判定以及正方形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出∠1=∠3=∠4=∠5是解題關(guān)鍵．