Question

如圖ABCD是一個正方形花園．E、F是它的兩個門且分別是AD、CD的中點，要修兩條路BE和AF
1）如圖a，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？為什么？
2）如圖b，若點E、F不是正方形ABCD的邊的中點但滿足DE=CF，那么這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？為什么？

Answer 1

考點：全等三角形的應(yīng)用,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）這條路等長，位置關(guān)系是垂直，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ADF≌△BAE，所以可得BE=AF，進而證明BE⊥AF；
（2）這條路等長，位置關(guān)系是垂直，根據(jù)（1）的思路證明△ADF≌△BAE即可．

解答：1）解：這條路等長，位置關(guān)系是垂直，
理由如下：
∵四邊形ABCD是一個正方形，
∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，
∵E、F分別是AD、CD的中點，
∴AE=DF，
在△ADF和△BAE中，

AD=AB ∠D=∠BAE DF=AE

，
∴△ADF≌△BAE，
∴BE=AF，∠ABE=∠FAD，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠AEB=90°，
∴BE⊥AF．
故BE=AF，BE⊥AF；
2）這條路等長，位置關(guān)系是垂直，
理由如下：
∵四邊形ABCD是一個正方形，
∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△ADF和△BAE中，

AD=AB ∠D=∠BAE DF=AE

，
∴△ADF≌△BAE，
∴BE=AF，∠ABE=∠FAD，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠AEB=90°，
∴BE⊥AF．
故BE=AF，BE⊥AF．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及垂直的判定，屬基礎(chǔ)題．