【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+2(a≠0)與x軸交于A(4,0)、B(﹣1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)把(1)中所求出的拋物線記為C1,將C1向右平移m個(gè)單位得到拋物線C2,C1與C2的在第一象限交點(diǎn)為M,過點(diǎn)M作MK于K,MG⊥x軸于點(diǎn)G,交線段AC于點(diǎn)H,連接CM.
①求線段MK長(zhǎng)度的最大值;
②當(dāng)△CMH為等腰三角形時(shí),求拋物線向右平移的距離m和此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1);( (2)① ②當(dāng)m=1時(shí),M(2,3);當(dāng)m=5﹣2時(shí),M.
【解析】
(1)利用點(diǎn)A,B的坐標(biāo)得到拋物線的解析式,并將其整理成頂點(diǎn)式,即可得頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)①關(guān)鍵是證明∽得到MK=,化斜為直,只需MH長(zhǎng)度最大時(shí),MK長(zhǎng)度最大,設(shè)M(x,﹣x2++2),H(x,﹣x+2),MH長(zhǎng)度的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題即可求解;
②△CMH為等腰三角形,分三種情況:(ⅰ)當(dāng)CM=CH時(shí),(ii)當(dāng)HC=HM時(shí),(iii)當(dāng)CM=HM時(shí),分別利用其相應(yīng)的幾何特征建立方程求解得到點(diǎn)M的坐標(biāo),代入平移后的解析式中求得m的值.
解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=ax2+bx+2=2,
∴拋物線經(jīng)過(0,2),
∵拋物線y=ax2+bx+2(a≠0)與x軸交于A(4,0)、B(﹣1,0)兩點(diǎn),
設(shè)拋物線的表達(dá)式為:y=a(x﹣4)(x+1),
把(0,2)代入得:2=a(0﹣4)(0+1),
a=﹣,
∴y=﹣(x﹣4)(x+1)=﹣x2++2=﹣(x﹣)2+,
∴拋物線的表達(dá)式為:,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(
(2)①設(shè)直線AC的表達(dá)式為:y=kx+b,
把A(4,0)、C(0,2)代入得:,
解得:,
∴直線AC的解析式為:y=﹣x+2,
,
∽,
,
設(shè)M(x,﹣x2++2),H(x,﹣x+2)由題知
MK==[﹣x2++2-(﹣x+2)]=[-]
當(dāng)x=2時(shí),MK最大等于
②∵△CMH為等腰三角形,分三種情況:
(ⅰ)當(dāng)CM=CH時(shí),C是MH垂直平分線上的點(diǎn),過點(diǎn)C作CP⊥MH,則MP=PH,
且由圖可知OC=PG=2
∴GH+GM=PG-PH+PG+MP=2PG=2OC
∴GH+GM=4,
則﹣x2++2+(﹣x+2)=4,解得:x1=0(舍),x2=2,
∴M(2,3),
設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為:y=﹣(x﹣﹣m)2+,
把M(2,3)代入得:m=1.
(ⅱ)當(dāng)HC=HM時(shí),HM=﹣x2+x+2﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x,
CH2=,CH=,
∴=﹣x2+2x,解得x1=0(舍),x2=4﹣,
∴M(4﹣,﹣),
設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為:y=﹣(x﹣﹣m)2+,
把M(4﹣,﹣)代入得:m1=0(舍),m2=5﹣2;
(ⅲ)當(dāng)CM=HM時(shí),HM=﹣x2+2x,CM2=,
則=, 解得x=,
∴M(,),
設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為:y=﹣(x﹣﹣m)2+,
把M(,)代入得:m=0(舍);
綜上所述,當(dāng)m=1時(shí),M(2,3);當(dāng)m=5﹣2時(shí),M(4﹣,﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△MNC,連接AN,則AN的長(zhǎng)是____.
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【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AB=3,點(diǎn)M,N分別在線段AC,AB上,將△ANM沿直線MN折疊,使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段BC上,若△DCM為直角三角形時(shí),則AM的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD,一等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A重合,將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),兩邊分別交直線BC、CD于M、N.
(1)當(dāng)M、N分別在邊BC、CD上時(shí)(如圖1),求證:BM+DN=MN;
(2)當(dāng)M、N分別在邊BC、CD所在的直線上時(shí)(如圖2,圖3),線段BM、DN、MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)直接寫出結(jié)論;
(3)在圖3中,作直線BD交直線AM、AN于P、Q兩點(diǎn),若MN=10,CM=8,求AP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】墊球是排球隊(duì)常規(guī)訓(xùn)練的重要項(xiàng)目之一.下列圖表中的數(shù)據(jù)是甲,乙,丙三名校排球隊(duì)員每人10次墊球測(cè)試的成績(jī).測(cè)試規(guī)則為每次連續(xù)接球10個(gè),每墊球到位1個(gè)記1分.
(1)若運(yùn)動(dòng)員丙測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)和眾數(shù)都是7,則成績(jī)統(tǒng)計(jì)表中a= ,b= ;
(2)若在三名隊(duì)員中選擇一位墊球成績(jī)優(yōu)秀且較為穩(wěn)定的同學(xué)作為排球比賽的自由人,你認(rèn)為選誰(shuí)更合適?請(qǐng)用你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)量加以分析說明(參考數(shù)據(jù):三人成績(jī)的方差分別為,,)
(3)訓(xùn)練期間甲、乙、丙三人之間進(jìn)行隨機(jī)傳球游戲,先由甲傳出球,經(jīng)過三次傳球,球回到甲手中的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的.連接BE、CF相交于點(diǎn)D.
(1)求證:BE=CF.
(2)當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí),求BD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB與x的正半軸交于點(diǎn)B,且B(1,0),與y的正半軸交于點(diǎn)A,以線段AB為邊,在第一象限內(nèi)作正方形ABCD,點(diǎn)C落在雙曲線y=(k≠0)上,將正方形ABCD沿x軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,使點(diǎn)D恰好落在雙曲線y=(k≠0)上的點(diǎn)D1處,則k=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年4月是我國(guó)第32個(gè)愛國(guó)衛(wèi)生月.某校九年級(jí)通過網(wǎng)課舉行了主題為“防疫有我,愛衛(wèi)同行”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).為了解全年級(jí)500名學(xué)生此次競(jìng)賽成績(jī)(百分制)的情況,隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的成績(jī),整理并繪制出如下不完整的統(tǒng)計(jì)表(表1)和統(tǒng)計(jì)圖(如圖).請(qǐng)根據(jù)圖表信息解答以下問題:
(1)本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了____個(gè)參賽學(xué)生的成績(jī);
(2)表1中a=__;
(3)所抽取的參賽學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)落在的“組別”是__;
(4)統(tǒng)計(jì)圖中B組所占的百分比是_______;
(5)請(qǐng)你估計(jì),該校九年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到80分以上(含80分)的學(xué)生人數(shù).
表1 知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)分組統(tǒng)計(jì)表
組別 | 分?jǐn)?shù)/分 | 頻數(shù) |
A | 60≤x<70 | a |
B | 70≤x<80 | 10 |
C | 80≤x<90 | 14 |
D | 90≤x<100 | 18 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】收發(fā)微信紅包已成為各類人群進(jìn)行交流聯(lián)系,增強(qiáng)感情的一部分,下面是甜甜和她的雙胞胎妹妹在六一兒童節(jié)期間的對(duì)話.
請(qǐng)問:(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到紅包的年增長(zhǎng)率是多少?
(2)2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少錢的微信紅包?
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