Question

拋物線y=x²﹣x+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（OA＜OB），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)E也從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒（0＜t＜2）．

①過點(diǎn)E作x軸的平行線，與BC相交于點(diǎn)D（如圖所示），當(dāng)t為何值時(shí)，+的值最小，求出這個最小值并寫出此時(shí)點(diǎn)E，P的坐標(biāo)；

②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使△EFP為直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 解：（1）在拋物線的解析式中，令y=0，即x²﹣x+2=0，

解得：x₁=2，x₂=4，∵OA＜OB，

∴A（2，0），B（4，0），

在拋物線的解析式中，令x=0，得y=2，

∴C（0，2），

（2）①由題意得：OP=2t，OE=t，

∵DE∥OB，

∴△CDE∽△CBO，

∴，即，

∴DE=4﹣2t，

∴，

∵0＜t＜2，1﹣（t﹣1）²始終為正數(shù)，且t=1時(shí)，1﹣（t﹣1）²有最大值1，

∴t=1時(shí)，有最小值1，

即t=1時(shí)，有最小值1，此時(shí)OP=2，OE=1，

∴E（0，1），P（2，0）；

②存在，

∵拋物線y=x²﹣x+2的對稱軸方程為x=3，

設(shè)F（3，m），

∴EP²=5，PF²=（3﹣2）²+m²，EF²=（m﹣1）²+3²，

當(dāng)△EFP為直角三角形時(shí)，

①當(dāng)∠EPF=90°時(shí)，

EP²+PF²=EF²，

即5+1+m²=（m﹣1）²+3²，

解得：m=2，

②當(dāng)∠EFP=90°時(shí)，

EF²+FP²=PE²，

即（m﹣1）²+3+（3﹣2）²+m²=5，

解得；m=0或m=1，不合題意舍去，

∴當(dāng)∠EFP=90°時(shí)，

這種情況不存在，

③當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，

EF²+PE²=PF²，

即（m﹣1）²+3²+5=（3﹣2）²+m²，

解得：m=7，

∴F（3，2），（3，7）．