Question

如圖，AB是⊙O的直徑，切線PC與AB延長線交于C，P為切點(diǎn)，點(diǎn)D是

AP

的中點(diǎn)，若AC=10，PC=6．
（1）求證：DO∥BP；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）由點(diǎn)D是

AP

的中點(diǎn)，即

AD

=

PD

，則根據(jù)垂徑定理得OD⊥AP，再根據(jù)圓周角定理得∠APB=90°，然后根據(jù)平行線的判定即可得到DO∥BP；
（2）連結(jié)OP，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)切線的性質(zhì)得OP⊥PC，在Rt△OPC中，由于PC=6，OC=AC-OA=r，OP=r，則根據(jù)勾股定理得（10-r）²=36+r²，然后解方程即可得到⊙的半徑．

解答：（1）證明：∵點(diǎn)D是

AP

的中點(diǎn)，
∴

AD

=

PD

，
∴OD⊥AP，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
∴PB⊥AP，
∴DO∥BP；
（2）解：連結(jié)OP，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵PC是⊙O的切線，
∴OP⊥PC，
在Rt△OPC中，∵PC=6，OC=AC-OA=r，OP=r，
∴（10-r）²=36+r²，解得r=

16

5

，
即⊙O的半徑為

16

5

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了垂徑定理、勾股定理和平行線的判定．