【題目】如圖,在矩形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),F為BE上的一點(diǎn),連接CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M,MN⊥CM交射線AD于點(diǎn)N
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)時(shí),求證:AM=CE;
(2)如圖2,若==n(n≥3)時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出的值;
(3)若矩形ABCD(AB>BC)對(duì)角線AC交MN于T,H為邊BC上一點(diǎn),∠CMH=45°且=(如圖3).若CF平分∠ACB,請(qǐng)直接寫(xiě)出的值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)
【解析】
(1)如圖1中,證明△BFM≌△EFC(ASA)即可解決問(wèn)題;
(2)如圖2中,設(shè)BC=a,則AB=BC=na,EC=DE=.利用相似三角形的性質(zhì)求出EF,BF,根據(jù)EF:BF=n,構(gòu)建方程求出n,求出AN,DN(用a表示),即可解決問(wèn)題;
(3)如圖3中,延長(zhǎng)NM交CB的延長(zhǎng)線于G,作CK⊥CM交MH的延長(zhǎng)線于K,作KJ⊥BC于J.由△CBM≌△KJC(AAS),推出BM=CJ,BC=JK,設(shè)BM=CJ=x,由BH:CH=1:5,可以假設(shè)BH=x,CH=5x,由BM∥JK,推出=,可得=,解得x=3a或2a(舍棄),再想辦法求出MF,MT即可解決問(wèn)題.
(1)證明:如圖1中,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠MBF=∠CEF,
∵BF=EF,∠BFM=∠CFE,
在△BFM和△EFC中,
,
∴△BFM≌△EFC(ASA),
∴BM=CE,
∵DE=EC=CD,
∴BM=AB,
∴AM=BM=EC.
(2)解:如圖2中,設(shè)BC=a,則AB=CD=na,EC=DE=.
則EB=,
由CF⊥BE,可得EF==,BF==,
∵EF:BF=n,
∴:=n,
解得n=4或0(舍棄),
∴AB=DC=4a,EC=DE=2a,
易知BM=a,AM=a,AN=a,DN=a-a=a,
∴==.
(3)解:如圖3中,延長(zhǎng)NM交CB的延長(zhǎng)線于G,作CK⊥CM交MH的延長(zhǎng)線于K,作KJ⊥BC于J.
∵∠CMK=45°,∠MCK=90°,
∴CM=CK,
∵∠MCB+∠CMB=90°,∠MCB+∠BCK=90°,
∴∠CMB=∠BCK,
在△CBM和△KJC中,
,
易證△CBM≌△KJC(AAS),
∴BM=CJ,BC=JK,設(shè)BM=CJ=x,
∵BH:CH=1:5,
∴可以假設(shè)BH=x,CH=5x,
∵BM∥JK,
∴=,
∴=,
解得x=3a或2a(舍棄),
∵CM平分∠ACB,易證=,
∴=,
∴AC=2AM,設(shè)AM=y,則AC=2y,
∵AC2=AB2+BC2,
∴4y2=(y+3a)2+(6a)2,
解得y=5a(負(fù)根已經(jīng)舍棄),
∴AM=5a,AB=CD=8a,EC=4a,CM==3a,
∵BM∥EC,
∴==,
∴MF=×3a=a,
∵CM⊥TG,CM平分∠TCG,
∴易證MT=MG,
由△MBG∽△CBM,可得MG=a,
∴MT=a,
∴==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C,并且OA=OB,CA=CB,⊙O交直線OB于E,D,連接EC,CD.
(1)求證:直線AB是⊙O的切線;
(2)若tan∠CED=,⊙O的半徑為3,求OA的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,方格紙的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1;
(2)畫(huà)出△ABC向上平移5個(gè)單位后的△A2B2C2,并求出平移過(guò)程中△ABC掃過(guò)的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于,兩點(diǎn)在左側(cè)),與軸交于點(diǎn),頂點(diǎn)為.
(1)當(dāng)時(shí),求四邊形的面積;
(2)在(1)的條件下,在第二象限拋物線對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)上存在一點(diǎn),使,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖2,將(1)中拋物線沿直線向斜上方向平移個(gè)單位時(shí),點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn),軸交新拋物線于點(diǎn),延長(zhǎng)至,且,若的外角平分線交點(diǎn)在新拋物線上,求點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線y=a(x-1)2+k與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2,將拋物線y=a(x-1)2+k向上平移n個(gè)單位,平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(m,n),則m的值是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行文明禮儀知識(shí)測(cè)試,為了解測(cè)試結(jié)果,隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析,將成績(jī)分為三個(gè)等級(jí):不合格、一般、優(yōu)秀,并繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖(不完整).
請(qǐng)你根據(jù)圖中所給的信息解答下列問(wèn)題:
(1)請(qǐng)將以上兩幅統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)若“一般”和“優(yōu)秀”均被視為達(dá)標(biāo)成績(jī),則該校被抽取的學(xué)生中有 人達(dá)標(biāo);
(3)若該校學(xué)生有1200人,請(qǐng)你估計(jì)此次測(cè)試中,全校達(dá)標(biāo)的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)與x軸,y軸的交點(diǎn)分別是A(﹣4,0),B(0,2).與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q,反比例函數(shù)圖象上有一點(diǎn)P滿足:①PA⊥x軸;②PO=(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則四邊形PAQO的面積為( 。
A.7B.10C.4+2D.4﹣2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商店在節(jié)日期間開(kāi)展優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng):購(gòu)買(mǎi)原價(jià)超過(guò)500元的商品,超過(guò)500元的部分可以享受打折優(yōu)惠.若購(gòu)買(mǎi)商品的實(shí)際付款金額y(單位:元)與商品原價(jià)x(單位:元)的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖所示,則超過(guò)500元的部分可以享受的優(yōu)惠是( )
A. 打六折B. 打七折C. 打八折D. 打九折
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,過(guò),,三點(diǎn)作圓,點(diǎn)在第一象限部分的圓上運(yùn)動(dòng),連結(jié),過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),下列說(shuō)法:①;②;③的最大值為10.其中正確的是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
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