Question

已知直線y=-x+3分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，線段OA上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，線段OA上另有一動(dòng)點(diǎn)Q由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)P以同樣速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（如圖），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）求tan∠QCP的值（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）若以Q，C，A為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題,相似三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，就可求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）可分三種情況（①點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊，②點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，③點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右邊）討論，然后只需用t的代數(shù)式表示出CP、PQ，就可解決問題；
（3）兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，故需分兩種情況（①△ACQ∽△ABO，②△ACQ∽△AOB）討論，然后只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可求出t的值．

解答：解：（1）∵直線y=-x+3分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．

（2）∵A（3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3．
∵∠AOB=90°，∴∠OAB=45°．
∵CP⊥OA，即∠CPA=90，
∴∠PCA=∠PAC=45°，
∴PC=PA．
由題可得：OP=AQ=1×t=t，
∴PC=PA=OA-OP=3-x．
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊時(shí)，0＜t＜

3

2

，
此時(shí)PQ=OA-OP-AQ=3-2t．
在Rt△CPQ中，tan∠QCP=

PQ

CP

=

3-2t

3-x

；
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，t=

3

2

，
tan∠QCP=tan0°=0；
③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右邊時(shí)，

3

2

＜t＜3，
此時(shí)PQ=AQ-AP=AQ-（OA-OP）=t-（3-t）=2t-3．
在Rt△CPQ中，tan∠QCP=

PQ

CP

=

2t-3

3-x

．

（3）在Rt△AOB中，
AB=

OA2+OB2

=

32+32

=3

2

．
在Rt△CPA中，
AC=

AP2+CP2

=

(3-t)2+(3-t)2

=

2

（3-t）．
①若△ACQ∽△ABO，
則

AC

AB

=

AQ

AO

，
∴

2 (3-t)

3 2

=

t

3

，
解得：t=

3

2

；
②若△ACQ∽△AOB，
則

AC

AO

=

AQ

AB

，
∴

2 (3-t)

3

=

t

3 2

，
解得：t=2．
綜上所述：t的值為

3

2

或2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．